a: Xét (O) có

MC là tiếp tuyến

MA là tiếp tuyến

Do đó: MC=MA

Xét (O) có

DC là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DC=DB

Ta có: CM+DC=DM

nên MD=MA+BD

a: Xét ΔAOM vuông tại A có tan AOM=AM/OA=căn 3

nên góc AOM=60 độ

=>sđ cung nhỏ AI=60 độ

=>sđ cung lớn AI=300 độ

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

nên MA=MC và OM là phân giác của góc COA(1)

Xét (O) có

NC,NB là tiếp tuyến

nên NC=NB và ON là phân giác của góc COB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc MON=1/2*180=90 độ

Xét ΔMON vuông tại O có OC là đường cao

nên MC*CN=OC^2

=>AM*BN=R^2

c: góc IAC=90 độ-góc OIA

góc MAI=90 độ-góc OAI

mà góc OIA=góc OAI

nên góc IAC=góc IAM

=>AI là phân giác của góc MAC

mà MI là phân giác của góc AMC

nên I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAC

a: Xét ΔMAO và ΔMCO có

MA=MC

AO=CO

MO chung

=>ΔMAO=ΔMCO

=>góc MCO=90 độ

góc MAO+góc MCO=180 độ

=>MAOC nội tiếp đường tròn đường kính MO

=>I là trung điểm của MO

b: góc MCO=90 độ

=>MC là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔMCD và ΔMBC có

góc MCD=góc MBC

góc CMD chung

=>ΔMCD đồng dạng với ΔMBC

=>MC/MB=MD/MC

=>MC^2=MB*MD

a) Xét tam giác COD cân tại O có OH là đường cao

⇒ OH cũng là tia phân giác ⇒ ∠(COM) = ∠(MOD)

Xét ΔMCO và ΔMOD có:

CO = OD

∠(COM) = ∠(MOD)

MO là cạnh chung

⇒ ΔMCO = ΔMOD (c.g.c)

⇒ ∠(MCO) = ∠(MDO)

∠(MCO) =  90 0 nên ∠(MDO) = 90 0

⇒ MD là tiếp tuyến của (O)

a.

Do AM là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow AM\perp OA\Rightarrow\widehat{OAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)

Tương tự, do MC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{OCM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b.

Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O) tại A và C \(\Rightarrow MA=MC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có \(OA=OC=R\)

\(\Rightarrow OM\)  là trung trực của AC

\(\Rightarrow OM\perp AC\) tại I

c.

Do AB là đường kính và D thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\) hay \(AD\perp BM\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAM với đường cao AD:

\(AM^2=MD.MB\) (3)

Theo c/m câu b ta có \(AI\perp MO\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM với đường cao AI:

\(AM^2=MI.MO\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow MA^2=MI.MO=MD.MB\)

d.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM với đường cao AI:

\(OA^2=OI.OM\)

Mà \(OA=OB=R\Rightarrow OB^2=OI.OM\Rightarrow\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OM}\)

Xét hai tam giác BOI và MOB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OM}\left(cmt\right)\\\widehat{MOB}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta BOI\sim\Delta MOB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OIB}=\widehat{OBM}\)

a: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD và OH là phân giác của góc COD

Xét ΔOCM và ΔODM có

OC=OD

\(\hat{COM}=\hat{DOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔODM

=>\(\hat{OCM}=\hat{ODM}\)

=>\(\hat{ODM}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến của (O)

b: OA+AM=OM

=>OM=R+R=2R

ΔOCM vuông tại C

=>\(CO^2+CM^2=OM^2\)

=>\(CM^2=\left(2R\right)^2-R^2=4R^2-R^2=3R^2\)

=>\(CM=R\sqrt3\)

Xét ΔOCM vuông tại C có CH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OC^2\)

=>\(OH=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\)

Xét (O) có

ΔCDE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCDE vuông tại D

Xét ΔCDE có H,O lần lượt là trung điểm của CD,CE

=>HO là đường trung bình của ΔCDE

=>HO//ED và HO=1/2ED

=>ED=2OH=R

c: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH^2=HA\cdot HB\)

=>\(4\cdot CH^2=4\cdot HA\cdot HB\)

=>\(CD^2=4\cdot HA\cdot HB\)

\(HA^2+HB^2+\frac{CD^2}{2}\)

\(=HA^2+HB^2+2\cdot HA\cdot HB\)

\(=\left(HA+HB\right)^2=AB^2=4R^2\)

d: Xét (O) có

ΔCFE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCFE vuông tại F

=>CF⊥ME tại F

Xét ΔMCE vuông tại C có CF là đường cao

nên \(MF\cdot ME=MC^2\) (1)

Xét ΔMCO vuông tại C có CH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MF\cdot ME=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MF}{MH}=\frac{MO}{ME}\)

Xét ΔMFO và ΔMHE có

\(\frac{MF}{MH}=\frac{MO}{ME}\)

góc FMO chung

Do đó: ΔMFO~ΔMHE

=>\(\hat{MOF}=\hat{MEH}\)

d) Ta có: ∠(CFE) = 90 0  (F thuộc đường tròn đường kính CE)

Lại có CF là đường cao nên MC 2  = MF.ME

Tương tự, ta có:  MC 2  = MH.MO

⇒ ME.MF = MH.MO

⇒

Xét ΔMOF và ΔMEN có:

∠(FMO) chung

⇒ ΔMOF ∼ ΔMEN (c.g.c)

⇒ ∠(MOF) = ∠(MEH)