a: Xét (O) có

MC là tiếp tuyến

MA là tiếp tuyến

Do đó: MC=MA

Xét (O) có

DC là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DC=DB

Ta có: CM+DC=DM

nên MD=MA+BD

a) Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

MC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: MA=MC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DC=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+CD=MD(C nằm giữa M và D)

mà MC=MA(cmt)

và DC=DB(cmt)

nên MD=MA+BD(đpcm)

Ta có: MA=MC(cmt)

nên M nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OA=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC

hay MO⊥AC

Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,C,B∈(O))

AB là đường kính của (O) 

Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)

⇒CA⊥CB

Ta có: CA⊥CB(cmt)

MO⊥CA(cmt)

Do đó: BC//MO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Ta có: DC=DB(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của BC

hay OD⊥BC

Ta có: BC//MO(cmt)

BC⊥OD(cmt)

Do đó: MO⊥OD(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔMOD có MO⊥OD(cmt)

nên ΔMOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

a: góc MAO+góc MCO=90+90=180 độ

=>MAOC nội tiếp

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

=>MA=MC

mà OA=OC

nên OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc AC

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là đường trung trực của MA

=>OC vuông góc với MA tại I

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

=>OD vuông góc với BM

Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

a: Xét (O) có

DA,DM là các tiếp tuyến

Do đó: DA=DM và OD là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

CM,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CB và OC là phân giác của góc MOB

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔAMB vuông tại M

=>AF⊥BE tại M

Ta có: \(\hat{DAM}+\hat{DEM}=\hat{AME}=90^0\)

\(\hat{DMA}+\hat{DME}=\hat{AME}=90^0\)

mà \(\hat{DAM}=\hat{DMA}\) (ΔDAM cân tại D)

nên \(\hat{DEM}=\hat{DME}\)

=>DE=DM

mà DA=DM

nên DE=DA

=>D là trung điểm của AE

Ta có: \(\hat{CMB}+\hat{CMF}=\hat{FMB}=90^0\)

\(\hat{CBM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔBMF vuông tại M)

mà \(\hat{CMB}=\hat{CBM}\) (ΔCBM cân tại C)

nên \(\hat{CMF}=\hat{CFM}\)

=>CM=CF

mà CM=CB

nên CF=CB

=>C là trung điểm của BF

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Xét ΔIAD và ΔICB có

\(\hat{IAD}=\hat{ICB}\) (hai góc so le trong, AD//CB)

\(\hat{AID}=\hat{CIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAD~ΔICB

=>\(\frac{ID}{IB}=\frac{IA}{IC}=\frac{DA}{CB}=\frac{DM}{MC}\)

Xét ΔDCB có \(\frac{DI}{IB}=\frac{DM}{MC}\)

nên IM//CB

mà CB⊥BA

nên MI⊥BA

mà MH⊥BA

và MI,MH có điểm chung là M

nên M,I,H thẳng hàng

Xét ΔBAD có IH//AD

nên \(\frac{IH}{AD}=\frac{BI}{BD}\) (1)

Xét ΔBDE có MI//DE

nên \(\frac{MI}{DE}=\frac{BI}{BD}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{AD}=\frac{MI}{DE}\)

mà AD=DE

nên IH=MI

=>I là trung điểm của MH

=>ĐPCM

c: Ta có: OD là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOD}\)

OC là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOC}\overline{}\)

TA có; \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOD}+\hat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

=>\(AD\cdot BC=OM^2=R^2=AO\cdot AO\)

=>\(\frac{AD}{AO}=\frac{AO}{BC}\)

=>\(\frac{AO}{BC}=\frac{2\cdot AD}{2\cdot AO}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔEAO vuông tại A và ΔABC vuông tại B có

\(\frac{EA}{AB}=\frac{AO}{BC}\)

Do đó; ΔEAO~ΔABC

=>\(\hat{AEO}=\hat{BAC}\)

mà \(\hat{AEO}+\hat{AOE}=90^0\) (ΔAOE vuông tại A)

nên \(\hat{AOE}+\hat{BAC}=90^0\)

=>AC⊥OE

Xét ΔAEO vuông tại A và ΔBAC vuông tại B có

\(\frac{AE}{BA}=\frac{AO}{BC}\)