Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét (O) có
EA,EM là các tiếp tuyến
Do đó: EA=EM và OE là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
FM,FB là các tiếp tuyến
Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB
ΔOAM cân tại O
mà OE là đường phân giác
nên OE⊥AM tại P và P là trung điểm của AM
ΔOBM cân tại O
mà OF là đường phân giác
nên OF⊥BM tại Q và Q là trung điểm của BM
Ta có: \(\hat{MPO}=\hat{MHO}=\hat{MQO}=90^0\)
=>M,P,O,H,Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO
2: OE là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOE}\)
OF là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOF}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOE}+\hat{MOF}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{EOF}=180^0\)
=>\(\hat{EOF}=90^0\)
Xét ΔEOF vuông tại O có OM là đường cao
nên \(ME\cdot MF=OM^2\)
=>\(EA\cdot BF=OM^2=R^2\)
3: Gọi G là giao điểm của MB và AE
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BG tại M
=>ΔAMG vuông tại M
Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EGM}=90^0\) (ΔAMG vuông tại M)
\(\hat{EMA}+\hat{EMG}=\hat{AMG}=90^0\)
mà \(\hat{EAM}=\hat{EMA}\) (ΔEAM cân tại E)
nên \(\hat{EGM}=\hat{EMG}\)
=>EG=EM
mà EM=EA
nên EG=EA(1)
Ta có: MH⊥AB
AG⊥ BA
Do đó: MH//AG
Xét ΔBAE có KH//AE
nên \(\frac{KH}{AE}=\frac{BK}{BE}\) (2)
Xét ΔBEG có MK//EG
nên \(\frac{MK}{EG}=\frac{BK}{BE}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH
A B E F x y M K O
a)\(\hept{\begin{cases}Ax⊥AB\\By⊥AB\end{cases}}\)=> Ax // By.\(\Delta KFB\)có EA // FB nên\(\frac{KF}{KA}=\frac{BF}{AE}\)(hệ quả định lí Ta-lét) mà EA = EM ; FM = FB (tính chất của 2 tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\Delta AEF\)có\(\frac{KF}{KA}=\frac{MF}{ME}\)nên MK // AE (định lí Ta-lét đảo) mà\(AE⊥AB\Rightarrow MK⊥AB\)
b)\(\widehat{EOM}=\frac{\widehat{AOM}}{2};\widehat{FOM}=\frac{\widehat{MOB}}{2}\)(tính chất 2 tiếp tuyến) mà\(\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=180^0\)(kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta EOF\)vuông tại O có OE + OF > EF (bđt tam giác) ; OE + OF < 2EF (vì OE,OF < EF)
\(\Rightarrow1< \frac{OE+OF}{EF}< 2\Rightarrow2< \frac{P_{EOF}}{EF}< 3\Rightarrow\frac{1}{3}< \frac{EF}{P_{EOF}}< \frac{1}{2}\)(1)
Hình thang AEFB (AE // FB) có diện tích là :\(\frac{\left(AE+FB\right).AB}{2}=\frac{\left(EM+FM\right).2R}{2}=EF.R\)
SAEO = SMEO vì có đáy OA = OM ; đường cao AE = ME\(\Rightarrow S_{MEO}=\frac{1}{2}S_{AEMO}\)
SFOM = SFOB vì có đáy FM = FB ; đường cao OM = OB\(\Rightarrow S_{FOM}=\frac{1}{2}S_{MFBO}\)
\(\Rightarrow S_{EOF}=\frac{1}{2}\left(S_{AEMO}+S_{MFBO}\right)=\frac{EF.R}{2}\).Từ tâm đường tròn nội tiếp I của\(\Delta EOF\)kẻ các đường vuông góc với OE,OF,EF thì\(S_{EOF}=S_{EIF}+S_{EIO}+S_{OIF}\)\(\Leftrightarrow\frac{EF.R}{2}=\frac{EF.r+EO.r+OF.r}{2}\)
\(\Rightarrow EF.R=P_{EOF}.r\Rightarrow\frac{r}{R}=\frac{EF}{P_{EOF}}\)(2).Thay (2) vào (1) ta có đpcm.
1: Xét (O) có
EA,EM là các tiếp tuyến
Do đó: EA=EM và OE là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
FM,FB là các tiếp tuyến
Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB
ΔOAM cân tại O
mà OE là đường phân giác
nên OE⊥AM tại P và P là trung điểm của AM
ΔOBM cân tại O
mà OF là đường phân giác
nên OF⊥BM tại Q và Q là trung điểm của BM
Ta có: \(\hat{MPO}=\hat{MHO}=\hat{MQO}=90^0\)
=>M,P,O,H,Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO
2: OE là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOE}\)
OF là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOF}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOE}+\hat{MOF}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{EOF}=180^0\)
=>\(\hat{EOF}=90^0\)
Xét ΔEOF vuông tại O có OM là đường cao
nên \(ME\cdot MF=OM^2\)
=>\(EA\cdot BF=OM^2=R^2\)
3: Gọi G là giao điểm của MB và AE
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BG tại M
=>ΔAMG vuông tại M
Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EGM}=90^0\) (ΔAMG vuông tại M)
\(\hat{EMA}+\hat{EMG}=\hat{AMG}=90^0\)
mà \(\hat{EAM}=\hat{EMA}\) (ΔEAM cân tại E)
nên \(\hat{EGM}=\hat{EMG}\)
=>EG=EM
mà EM=EA
nên EG=EA(1)
Ta có: MH⊥AB
AG⊥ BA
Do đó: MH//AG
Xét ΔBAE có KH//AE
nên \(\frac{KH}{AE}=\frac{BK}{BE}\) (2)
Xét ΔBEG có MK//EG
nên \(\frac{MK}{EG}=\frac{BK}{BE}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH