C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là đường trung trực của MA

=>OC vuông góc với MA tại I

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

=>OD vuông góc với BM

Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

1: Xét tứ giác OACM có \(\hat{OAC}+\hat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OACM là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của AM

=>OC⊥AM tại I và I là trung điểm của AM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

=>D nằm trên đường trung trực của MB(3)

Ta có: OM=OB

=>O nằm trên đường trung trực của MB(4)

Từ (3),(4) suy ra OD là đường trung trực của MB

=>OD⊥MB tại K

Xét ΔOMC vuông tại M có MI là đường cao

nên \(OI\cdot OC=OM^2\) (5)

Xét ΔOMD vuông tại M có MK là đường cao

nên \(OK\cdot OD=OM^2\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(OI\cdot OC=OK\cdot OD\)

=>\(\frac{OI}{OD}=\frac{OK}{OC}\)

Xét ΔOIK và ΔODC có

\(\frac{OI}{OD}=\frac{OK}{OC}\)

góc IOK chung

Do đó ΔOIK~ΔODC

=>\(\hat{OIK}=\hat{ODC}\)

mà \(\hat{OIK}+\hat{CIK}=180^0\)

nên \(\hat{CIK}+\hat{CDK}=180^0\)

=>CIKD là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

DA,DM là các tiếp tuyến

Do đó: DA=DM và OD là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

CM,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CB và OC là phân giác của góc MOB

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔAMB vuông tại M

=>AF⊥BE tại M

Ta có: \(\hat{DAM}+\hat{DEM}=\hat{AME}=90^0\)

\(\hat{DMA}+\hat{DME}=\hat{AME}=90^0\)

mà \(\hat{DAM}=\hat{DMA}\) (ΔDAM cân tại D)

nên \(\hat{DEM}=\hat{DME}\)

=>DE=DM

mà DA=DM

nên DE=DA

=>D là trung điểm của AE

Ta có: \(\hat{CMB}+\hat{CMF}=\hat{FMB}=90^0\)

\(\hat{CBM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔBMF vuông tại M)

mà \(\hat{CMB}=\hat{CBM}\) (ΔCBM cân tại C)

nên \(\hat{CMF}=\hat{CFM}\)

=>CM=CF

mà CM=CB

nên CF=CB

=>C là trung điểm của BF

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Xét ΔIAD và ΔICB có

\(\hat{IAD}=\hat{ICB}\) (hai góc so le trong, AD//CB)

\(\hat{AID}=\hat{CIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAD~ΔICB

=>\(\frac{ID}{IB}=\frac{IA}{IC}=\frac{DA}{CB}=\frac{DM}{MC}\)

Xét ΔDCB có \(\frac{DI}{IB}=\frac{DM}{MC}\)

nên IM//CB

mà CB⊥BA

nên MI⊥BA

mà MH⊥BA

và MI,MH có điểm chung là M

nên M,I,H thẳng hàng

Xét ΔBAD có IH//AD

nên \(\frac{IH}{AD}=\frac{BI}{BD}\) (1)

Xét ΔBDE có MI//DE

nên \(\frac{MI}{DE}=\frac{BI}{BD}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{AD}=\frac{MI}{DE}\)

mà AD=DE

nên IH=MI

=>I là trung điểm của MH

=>ĐPCM

c: Ta có: OD là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOD}\)

OC là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOC}\overline{}\)

TA có; \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOD}+\hat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

=>\(AD\cdot BC=OM^2=R^2=AO\cdot AO\)

=>\(\frac{AD}{AO}=\frac{AO}{BC}\)

=>\(\frac{AO}{BC}=\frac{2\cdot AD}{2\cdot AO}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔEAO vuông tại A và ΔABC vuông tại B có

\(\frac{EA}{AB}=\frac{AO}{BC}\)

Do đó; ΔEAO~ΔABC

=>\(\hat{AEO}=\hat{BAC}\)

mà \(\hat{AEO}+\hat{AOE}=90^0\) (ΔAOE vuông tại A)

nên \(\hat{AOE}+\hat{BAC}=90^0\)

=>AC⊥OE

Xét ΔAEO vuông tại A và ΔBAC vuông tại B có

\(\frac{AE}{BA}=\frac{AO}{BC}\)

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nen CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là trung trực của AM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của MB

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

b: CD=CM+MD

=>CD=AC+BD

c: Xét tứ giác OEMF có

góc OEM=góc OFM=góc EOF=90 độ

nên OEMF là hình chữ nhật

a: Xét (O) có

MC,MA là các tiếp tuyến

Do đó; MA=MC và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Ta có: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔOCD vuông tại O

b: CA+DB

=CM+DM

=CD

c: Ta có: ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM tại E

ΔOBM cân tại O

mà OD là đường phân giác

nên OD⊥MB tại F

Xét tứ giác OEMF có \(\hat{OEM}=\hat{OFM}=\hat{EOF}=90^0\)

nên OEMF là hình chữ nhật

e: Hình chữ nhật OEMF trở thành hình vuông khi MO là phân giác của góc EMF

=>MO là phân giác của góc AMB

=>\(\hat{AMO}=\hat{BMO}=45^0\)

=>M là điểm chính giữa của cung AB