a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

ACDB là hình thang vuông

=>\(S_{ACDB}=\frac12\left(AC+DB\right)\cdot AB=\frac12\cdot\left(CM+MD\right)\cdot AB=\frac12\cdot CD\cdot AB\le\frac12\cdot\frac{\left(CD+AB\right)^2}{4}=\frac18\left(CD+AB\right)^2\)

Dấu '=' xảy ra khi CD=AB

=>ABDC là hình chữ nhật

=>\(\hat{ACM}=\hat{BDM}=90^0\)

Xét tứ giác CMOA có

\(\hat{MCA}=\hat{CMO}=\hat{CAO}=90^0\)

nên CMOA là hình chữ nhật

=>CM=OA

CM+DM=CD

AO+OB=AB

mà CM=AO và CD=AB

nên DM=OB

mà CM=OA và OA=OB

nên MC=MD

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét ΔMCA vuông tại C và ΔMDB vuông tại D có

MC=MD

CA=DB

Do đó: ΔMCA=ΔMDB

=>MA=MB

=>ΔMAB vuông cân tại M

=>M là điểm chính giữa của cung AB

b: Ta có: MA⊥MB

=>MA⊥ MF tại M

=>ΔAMF vuông tại M

Ta có; \(\hat{CAM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔAMF vuông tại M)

\(\hat{CMA}+\hat{CMF}=\hat{AMF}=90^0\)

mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)

nên \(\hat{CFM}=\hat{CMF}\)

=>CF=CM

mà CM=CA

nên CF=CA(1)

Ta có: MH⊥AB

FA⊥BA

Do đó: MH//AF

Xét ΔBAC có HK//AC
nên \(\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{BC}\) (2)

Xét ΔBFC có MK//FC

nên \(\frac{MK}{FC}=\frac{BK}{BC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH

=>K là trung điểm của MH

Xét ΔCDB có MK//DB

nên \(\frac{CK}{KB}=\frac{CM}{MD}\)

=>\(\frac{CK}{KB}=\frac{CA}{DB}\)

Xét ΔKCA và ΔKBD có

\(\frac{KC}{KB}=\frac{CA}{DB}\)

\(\hat{KCA}=\hat{KBD}\) (hai góc so le trong, AC//BD)

Do đó: ΔKCA~ΔKBD

=>\(\hat{CKA}=\hat{BKD}\)

mà \(\hat{CKA}+\hat{AKB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BKA}+\hat{BKD}=180^0\)

=>A,K,D thẳng hàng

=>BC,AD,MH đồng quy tại K

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có AC // BD

Suy ra: ND/NA = BD/AC (hệ quả định lí Ta-lét)     (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ND/NA = MD/MC

Trong tam giác ACD, ta có: ND/NA = MD/MC

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)

Suy ra: MN ⊥ AB

bạn ghi thiếu r ;v

Xét (O) có

MC,MA là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MA và OM là phân giác của góc COA

Xét (O) có

NC,NB là các tiếp tuyến

Do đó;NC=NB và ON là phân giác cua góc COB

Xét ΔHMA và ΔHBN có

\(\hat{HMA}=\hat{HBN}\) (hai góc so le trong, AM//BN)

\(\hat{MHA}=\hat{BHN}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHMA~ΔHBN

=>\(\frac{HM}{HB}=\frac{HA}{HN}=\frac{MA}{BN}=\frac{MC}{CN}\)

Xét ΔMNB có \(\frac{MH}{HB}=\frac{MC}{CN}\)

nên HC//NB

=>CK//AM

CH//AM

AM⊥ AB

Do đó: CH⊥AB

Gọi I là giao điểm của CB và AM

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC⊥CA tại C

=>AC⊥CI tại C

=>ΔACI vuông tại C

Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MIC}=90^0\) (ΔACI vuông tại C)

\(\hat{MCA}+\hat{MCI}=\hat{ACI}=90^0\)

mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\) (ΔMAC cân tại M)

nên \(\hat{MIC}=\hat{MCI}\)

=>MI=MC

mà MC=MA

nên MI=MA(1)

Xét ΔBAM có HK//AM

nên \(\frac{HK}{AM}=\frac{BH}{BM}\) (2)

Xét ΔBMI có CH//MI

nên \(\frac{CH}{MI}=\frac{BH}{BM}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra HK=HC

Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: MN/AC = DN/DA (hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)

Suy ra: HN/AC = BN/BC (hệ quả định lí Ta-lét)     (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: ND/NA = BN/NC (hệ quả định lí Ta-lét)

⇒ ND/(DN + NA) = BN/(BN + NC) ⇔ ND/DA = BN/BC      (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: MN/AC = HN/AC ⇒ MN = HN