a, Từ CA, CM là tiếp tuyến của (O) chứng minh được A,C,M,O ∈ đường tròn bán kính  O C 2

b, Chứng minh OC,BM cùng vuông góc với AM . từ đó suy ra OC//BM

c,  S A C D B = A C + B D A B 2 = A D . A B 2

=>  S A C D B  nhỏ nhất khi CD có độ dài nhỏ nhất

Hay M nằm chính giữa cung AB

d, Từ tính chất hai giao tuyến => AC = CM và BM=MD, kết hợp với AC//BD

ta chứng minh được  C N N B = C M M D => MN//BD => MN ⊥ AB

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

=>ΔCOD vuông tại O

b: AC*BD=CM*DM=OM^2=R^2

a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

hay ΔCOD vuông tại O

b: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=MO^2=R^2=AC\cdot BD\)

a: Xét (O) có

HM,HB là các tiếp tuyến

Do đó: HM=HB và OH là phân giác của góc MOB

OH là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOH}\)

Xét (O) có

KM,KC là các tiếp tuyến

DO đó: KM=KC; OK là phân giác của góc MOC

OK là phân giác của góc MOC

=>\(\hat{MOC}=2\cdot\hat{MOK}\)

Ta có: \(\hat{MOB}+\hat{MOC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOK}+\hat{MOH}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{KOH}=180^0\)

=>\(\hat{KOH}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

b: Ta có: KM=KC

=>K nằm trên đường trung trực của MC(1)

Ta có: OM=OC

=>O nằm trên đường trung trực của MC(2)

Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của MC

=>OK⊥MC

mà OK⊥HO

nên HO//MC

Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBMC vuông tại M

=>BM⊥MC

mà MC⊥OK

nên BM//OK

c: Sửa đề: OK cắt CM tại F

Ta có: OH//MC

MB⊥MC

DO đó: OH⊥MB

Xét ΔOMH vuông tại M có MI là đường cao

nên \(OI\cdot OH=OM^2=R^2\) (3)

Xét ΔOMK vuông tại M có MF là đường cao

nên \(OF\cdot OK=OM^2=R^2\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(OI\cdot OH=OF\cdot OK\)

Bài 2:

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên OC là phân giác của góc MOA(1) và CM=CA
Xet (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

b:

Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên MC*MD=OM^2

c: \(AC=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

a: Xét tứ giác OACM có

\(\hat{OAC}+\hat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OACM là tứ giác nội tiếp

=>O,A,C,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác OBDM có \(\hat{OBD}+\hat{OMD}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBDM là tứ giác nội tiếp

=>O,B,D,M cùng thuộc một đường tròn

c: Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó; CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

DC=DM+MC

mà DM=DB và CA=CM

nên DC=DB+CA

d: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Ta có: \(\hat{MOB}+\hat{MOA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOD}+\hat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔOCD vuông tại O

e: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(DB\cdot AC=OM^2=R^2\) không đổi