a)Ta có: DN và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒ DN = DB

CA và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ⇒ CA = CN

Khi đó: DB + CA = DN + CN = DC

Mặt khác OC và OD lần lượt là hai phân giác của hai góc ∠(AON) và ∠(BON) kề bù nên

∠(COD) = 90 0

Trong tam giác vuông COD có ON là đường cao nên:

DN.CN = ON 2  = R 2

Hay AC.BD = R 2  (không đổi)

c)Ta có: OA = ON (bằng R)

CA = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó OC là đường trung trực của AN. Gọi H là giao điểm của OC và AN. Xét tam giác vuông CAO có AH là đường cao nên:

a: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Ta có: CM+DM=CD
=>CD=CA+DB

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(AC\cdot BD=R^2\) không đổi

Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên ON=NC=ND

=>O nằm trên (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC

=>ON//AC//BD

=>ON⊥AB tại O

Xét (N) có

NO là bán kính

AB⊥NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến

a, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CD

b,  C O A ^ = C O M ^ ; D O M ^ = D O B ^

=>  C O D ^ = 90 0

c, AC.BD = MC.MD =  M O 2 = R 2

d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là đường trung trực của MA

=>OC vuông góc với MA tại I

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

=>OD vuông góc với BM

Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

a: Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó: DA=DC và OD là phân giác của góc COA

Xét (O) có

EC,EB là các tiếp tuyến

Do đó: EC=EB và OE là phân giác của góc COB

DC+CE=DE
=>DE=DA+EB

b: ΔOAC cân tại O

mà OD là đường phân giác

nên OD⊥AC tại M

ΔOBC cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥BC tại N

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>CA⊥CB tại C

Xét tứ giác CMON có \(\hat{CMO}=\hat{CNO}=\hat{MCN}=90^0\)

nên CMON là hình chữ nhật

c: Xét ΔMCD vuông tại C có CM là đường cao

nên \(MO\cdot MD=CM^2\)

Xét ΔOCE vuông tại C có CN là đường cao

nên \(NO\cdot NE=NC^2\)

\(MO\cdot MD+NO\cdot NE\)

\(=CM^2+CN^2=CO^2=R^2\) không đổi