Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Dễ thấy C là trực tâm của tam giác IAB nên C, I, H thẳng hàng.
Do tứ giác AICK là hình thang nội tiếp được đường tròn nên là hình thang cân.
Khi đó \(\widehat{IAK}=\widehat{CKA}\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{NBA}\)
Suy ra tam giác NAB vuông cân tại N nên \(\widehat{NBA}=45^o\).
Ta có các tứ giác CMIN, AMIH nội tiếp được nên \(\widehat{NMH}=\widehat{NMI}+\widehat{HMI}=\widehat{ICN}+\widehat{IAB}=45^o+45^o=90^o\Rightarrow MN\perp MH\).
c) Đề phải là \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}\ge6\).
Đặt \(x=\dfrac{IH}{CH};y=\dfrac{IN}{AN};z=\dfrac{IM}{BM}\left(x,y,z< 1\right)\).
Ta có \(x+y+z=\dfrac{S_{IAB}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{IBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{ICA}}{S_{ABC}}=1\).
Lại có \(\dfrac{IH}{CH}=x\Rightarrow\dfrac{CH}{IH}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow\dfrac{IC}{IH}=\dfrac{1}{x}-1\).
Tương tự \(\dfrac{IA}{IN}=\dfrac{1}{y}-1;\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{z}-1\).
Do đó \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-3\ge_{Svacxo}\dfrac{9}{x+y+z}-3=\dfrac{9}{1}-3=6\).
Vậy ta có đpcm.
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên ^MIB=90o⇒^CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
⇒^HIM=^HCM.
Tam giác ACM cân tại C nên ^HCM=^HCA.
Mà ^HCA=^HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên ^HBC=^JIB.
Tóm lại : ^HIM=^JIB⇒^HIM+^MIJ=^JIB+^MIJ
⇒^HIJ=^MIB=90o.
Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên \widehat{MIB}=90^o\Rightarrow\widehat{CIM}=90^oMIB=90o⇒CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HCM}⇒HIM=HCM.
Tam giác ACM cân tại C nên \widehat{HCM}=\widehat{HCA}HCM=HCA.
Mà \widehat{HCA}=\widehat{HBC}HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên \widehat{HBC}=\widehat{JIB}HBC=JIB.
suy ra : \widehat{HIM}=\widehat{JIB}\Rightarrow\widehat{HIM}+\widehat{MIJ}=\widehat{JIB}+\widehat{MIJ}HIM=JIB⇒HIM+MIJ=JIB
gọi O là trung điểm của AB
E là trung điểm của MB
có tam giác IMB là tam giác nội tiếp đường tròn tâm E
⇒tam giác IMB vuông tại I
⇒góc MIB bằng 90độ
⇒góc CIM bằng 90 độ
⇒tứ giác CHMI là nội tiếp
⇒góc HIM bằng góc HCM
có H là trung điểm của AM
CH là trung tuyến của tam giác CAM
có CH vuông góc với AM
⇒CH là đường cao
xét tam giác CAM có
CH là đường cao(cmt)
CH là trung tuyến(cmt)
⇒tam giác CAM cân tại C
⇒góc HCM bằng góc HCA
mà góc HCA bằng góc HBC (cùng phụ góc ACB)
có E là trung điểm của MB(lấy thêm)⇒IE là trung tuyến
xét tam giác MIB vuông tại I có
IE là trung tuyến
⇒IE bằng 1/2MB
mà ME bằng MB bằng 1/2MB
⇒IE bằng ME(1/2MB)
xét tam giác EIB có IE bằng ME (cmt)
⇒tam giác EIB cần tại E
⇒góc EBI bằng góc EIB
mà góc HCA bằng góc HBC
⇒góc EIB bằng góc HCA
có góc HIM bằng góc EIB
⇒góc HIM+gócMIE bằng góc EIB+góc MIE
⇒góc HIE bằng góc MIB bằng 90 độ
⇒ HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB
Gọi O, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.
có ΔIMB làΔ nội tiếp đg tròn (E)
=>ΔIMB vuông tại I
=>gócMIB= 90 độ hay góc CIM=90 độ
=>tứ giác CHMI là nội tiếp
=>gócHMI=gócHCM
CH⊥ AM
có H là trung điểm của AM
=>CH là trung tuyến của ΔCAM
xét ΔCAMcó
CH là trung tuyến
CH ⊥ AM
=>ΔCAM cân tại C
=>gócHCM=góc HCA
mà góc HCA= góc HCB(cùng phụ góc ACB)
Tam giác IEB có EI=EB(=r)
=>gócHBC=góc EIB
Mà gócHBC=góc HIM
=>góc HIM+ gócMIE=góc EIB+gócMIE
=>gócHIE=góc MIB=90 độ
=>HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB.
gọi O là trung điểm của AB
E là trung điểm của MB
có tam giác IMB là tam giác nội tiếp đường tròn tâm E
⇒tam giác IMB vuông tại I
⇒góc MIB bằng 90độ
⇒góc CIM bằng 90 độ
⇒tứ giác CHMI là nội tiếp
⇒góc HIM bằng góc HCM
có H là trung điểm của AM
CH là trung tuyến của tam giác CAM
có CH vuông góc với AM
⇒CH là đường cao
xét tam giác CAM có
CH là đường cao(cmt)
CH là trung tuyến(cmt)
⇒tam giác CAM cân tại C
⇒góc HCM bằng góc HCA
mà góc HCA bằng góc HBC (cùng phụ góc ACB)
có E là trung điểm của MB(lấy thêm)⇒IE là trung tuyến
xét tam giác MIB vuông tại I có
IE là trung tuyến
⇒IE bằng 1/2MB
mà ME bằng MB bằng 1/2MB
⇒IE bằng ME(1/2MB)
xét tam giác EIB có IE bằng ME (cmt)
⇒tam giác EIB cần tại E
⇒góc EBI bằng góc EIB
mà góc HCA bằng góc HBC
⇒góc EIB bằng góc HCA
có góc HIM bằng góc EIB
⇒góc HIM+gócMIE bằng góc EIB+góc MIE
⇒góc HIE bằng góc MIB bằng 90 độ
⇒ HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB
gọi đường tròn (N) là đường tròn đường kính MB
từ H kẻ HD\(\perp\)BC tại D
có 3 điểm A,B,C cùng thuộc đường tròn (O)
=> tam giác ABC vuông tại C
có 3 điểm B,M,I cùng thuộc đường tròn (N)
=> tam giác BMI vuông tại I
có IN là đường trung tuyến của tam giác BMI
=> IN=MN=NB (tính chất)
=> tam giác INB cân tại N (định nghĩa)
=> \(\widehat{NIB}=\widehat{NBI}\) (tính chất) (1)
có MI\(\perp\)BC (cmt)
và AC \(\perp\)BC (cmt)
=> MI//AC (từ \(\perp\) đến //)
=> tứ giác ACIM là hình thang (định nghĩa)
có H là trung điểm AM (gt)
và HD//MI//AC (\(\perp\)BC)
=> D là trung điểm CI (tính chất)
tam giác CHI có: HD là đường cao (vẽ thêm)
HD là đường trung tuyến (D là trung điểm CI)
=>tam giác CHI cân tại H (tính chất)
=> \(\widehat{HIC}=\widehat{HCI}\) (tính chất) (2)
có CH\(\perp\)AB (gt) => tam giác BHC vuông tại H
=> \(\widehat{HCI}+\widehat{NBI}=90^o\) (2 góc phụ nhau) (3)
từ (1),(2),(3): => \(\widehat{HIC}+\widehat{NIB}=90^o\)
có \(\widehat{HIC}+\widehat{HIN}+\widehat{NIB}=180^o\)
=> \(\widehat{HIN}=90^o\)
=> HI\(\perp\)IN
đường tròn (N) có : HI\(\perp\)IN (cmt)
I thuộc đường tròn (N)
=> HI là tiếp tuyến của đường tròn (N) đường kính BM
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Có MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J
Suy ra Δ MIB vuông tại I
suy ra góc MIB = 90
Có Δ CHM vuông tại H
Δ CIM vuông tại I
suy ra tứ giác CHMI nội tiếp đtron đường kính CM
góc HIM = góc HCM
Tam giác ACM cân tại C nên
góc HCM = góc HCA
mà góc HCA = góc HBC(cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên góc HBC= góc JIB
tóm lại góc HIB = góc JIB
suy ra góc HIM + góc MIJ = góc JIB + góc MIJ
suy HIJ = 90
Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB.
gọi O,E lần lượt là trung điểm của AB và MB
Có \(\Delta\)IMB nội tiếp đường tròn (E)
=>\(\Delta\)IMB vuông tại I
=> góc MIB= 90 độ => góc CIM - 90 độ
=>tứ giác CHMI nội tiếp
=>góc HIM = góc HCM
Xét\(\Delta\)ACM có: CH là trung tuyến
CH\(\perp\)AM
=>\(\Delta\)ACM cân tại C
=> góc HCM= góc HCA
mà góc HCA = góc HBC (cùng phụ góc CAB)
\(\Delta\)IEB có: EI=EB=R
=>\(\Delta\)IEB cân tại E
=> góc HBC= góc EIB
mà góc HBC= góc HIM=> góc EIB= góc HIM
=> góc HIM+ góc MIE=góc EIB+gócMIE
=>góc HIE=gócMIB=90 độ
=>HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB
gọi O là trung điểm của AB
E là trung điểm của MB
Có tam giác IMB là tam giác nội tiếp đg tròn tâm E
=> Tam giác IMB vuông tại I
=> góc MIB= 90 độ
=> góc CIM = 90 độ
=> Tứ giác CHMI là nội tiếp
=> Góc HIM= góc HCM
Xét tam giác CAM có
CH là đg cao ( CH vuông góc AM)
CH là đg trung tuyến ( H là trung điểm của AM)
=> tam giác CAM cân tại C
=> góc HCM = góc HCA
Mà \widehat{HCA}=\widehat{HBC}HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)
Xét tam giác MIB vuông tại I CÓ
IE là trung truyến (vẽ)
=>IE=ME=EB= \(\dfrac{1}{2}\)MB
Xét tam giác EIB có
IE =ME (cmt)
=> Tam giác EIB cân tại E
=> góc EBI = góc EIB
Mà góc HCA = góc EBI ( Goc HCA = góc HBC )
=> Góc EIB= góc HCA
Có góc HIM = góc EIB
=> góc HIM + góc MIE = góc EIB= góc MIE
=>Góc HIE = GÓC MIB = 90 ĐỘ
=> HI LÀ ĐG TRUNG TUYẾN CỦA ĐG TRÒN ĐG KÍNH MB
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên ^MIB=90o⇒^CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
⇒^HIM=^HCM.
Tam giác ACM cân tại C nên ^HCM=^HCA.
Mà ^HCA=^HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên ^HBC=^JIB.
Tóm lại : ^HIM=^JIB⇒^HIM+^MIJ=^JIB+^MIJ
⇒^HIJ=^MIB=90o.
Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB.
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Có MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J
Suy ra Δ MIB vuông tại I
suy ra góc MIB = 90
Có Δ CHM vuông tại H
Δ CIM vuông tại I
suy ra tứ giác CHMI nội tiếp đtron đường kính CM
góc HIM = góc HCM
Tam giác ACM cân tại C nên
góc HCM = góc HCA
mà góc HCA = góc HBC(cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên góc HBC= góc JIB
tóm lại góc HIB = góc JIB
suy ra góc HIM + góc MIJ = góc JIB + góc MIJ
suy HIJ = 90
Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Có MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J
Suy ra Δ MIB vuông tại I
suy ra góc MIB = 90
Có Δ CHM vuông tại H
Δ CIM vuông tại I
suy ra tứ giác CHMI nội tiếp đtron đường kính CM
góc HIM = góc HCM
Tam giác ACM cân tại C nên
góc HCM = góc HCA
mà góc HCA = góc HBC(cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên góc HBC= góc JIB
tóm lại góc HIB = góc JIB
suy ra góc HIM + góc MIJ = góc JIB + góc MIJ
suy HIJ = 90
Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB.
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên MIB^=90o⇒CIM^=90oMIB=90o⇒CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
⇒HIM^=HCM^⇒HIM=HC
Tam giác ACM cân tại C nên HCM^=HCA^HCM=HCA
Mà HCA^=HBC^HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên HBC^=JIB^HBC=JIB
Tóm lại : HIM^=JIB^⇒HIM^+MIJ^=JIB^+MIJ^HIM=JIB⇒HIM+MIJ=JIB+
Gọi O ,J lần lượt là trung điểm của AB và MB
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên góc MIB = 90°
Vậy nên tứ giác CHMI nối tiếp
=> góc HIM =góc HCM
Tam giác ACM cân tại C nên góc HCM =góc HCA
Mà góc HCA = góc HBC( Cùng phụ góc CAB)
Tam giác ỊJB cân tại J nên góc HBC= góc JIB
Ta có góc HIM = góc JIB => góc HIM + góc MIJ = góc JIB + MIJ
=> góc HỊ = góc MIB =90°
Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB
gọi O,J lần lượt là trung điểm của AB và MB
DO MB là đường kính của nửa đương tròn tâm j nên góc MIB =90'
⇒CIM =90' nên tứ giác CHIM nội tiếp
⇒góc HIM =HCM
Δ CAM cân tại C nên gcos HCM =HCA
mà HCA =HCB
tam giác IJB cân tại J nên HCB =JIB
nên HIM=JIB ⇒ HIM +MIJ=JIB + MIJ
⇒HIJ=MIB =90'
nên HI là tiếp tuyến của đt, đk MB
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên \widehat{MIB}=90^o\Rightarrow\widehat{CIM}=90^oMIB=90o⇒CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HCM}⇒HIM=HCM.
Tam giác ACM cân tại C nên \widehat{HCM}=\widehat{HCA}HCM=HCA.
Mà \widehat{HCA}=\widehat{HBC}HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên \widehat{HBC}=\widehat{JIB}HBC=JIB.
Tóm lại : \widehat{HIM}=\widehat{JIB}\Rightarrow\widehat{HIM}+\widehat{MIJ}=\widehat{JIB}+\widehat{MIJ}HIM=JIB⇒HIM+MIJ=
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên \widehat{MIB}=90^o\Rightarrow\widehat{CIM}=90^oMIB=90o⇒CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HCM}⇒HIM=HCM.
Tam giác ACM cân tại C nên \widehat{HCM}=\widehat{HCA}HCM=HCA.
Mà \widehat{HCA}=\widehat{HBC}HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên \widehat{HBC}=\widehat{JIB}HBC=JIB.
Tóm lại : \widehat{HIM}=\widehat{JIB}\Rightarrow\widehat{HIM}+\widehat{MIJ}=\widehat{JIB}+\widehat{MIJ}HIM=JIB⇒HIM+MIJ=JIB
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên \widehat{MIB}=90^o\Rightarrow\widehat{CIM}=90^oMIB=90o⇒CIM=90o.
Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.
\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HCM}⇒HIM=HCM.
Tam giác ACM cân tại C nên \widehat{HCM}=\widehat{HCA}HCM=HCA.
Mà \widehat{HCA}=\widehat{HBC}HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)
Tam giác IJB cân tại J nên \widehat{HBC}=\widehat{JIB}HBC=JIB.
Tóm lại : \widehat{HIM}=\widehat{JIB}\Rightarrow\widehat{HIM}+\widehat{MIJ}=\widehat{JIB}+\widehat{MIJ}HIM=JIB⇒HIM+MIJ=JIB
Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
có\(\Delta\) IMB là tam giác nội tiếp đường tròn tâm E
⇒\(\Delta\)IMB vuông tại I
⇒\(\widehat{MIB}=90^o\)
⇒\(\widehat{CIM}=90^o\)
⇒tứ giác CHMI là nội tiếp
⇒\(\widehat{HIM}=\widehat{HCM}\)
có H là trung điểm của AM
CH là trung tuyến của \(\Delta\) CAM
có CH vuông góc với AM
⇒CH là đường cao
xét \(\Delta\) CAM có:
CH là đường cao(cmt)
CH là trung tuyến(cmt)
⇒\(\Delta\) CAM cân tại C
⇒\(\widehat{HCM}=\widehat{HCA}\)
mà \(\widehat{HCA}=\widehat{HBC}\) ( cùng phụ \(\widehat{ACB}\))
có E là trung điểm của MB(lấy thêm)⇒IE là trung tuyến
xét\(\Delta\) MIB vuông tại I có
IE là trung tuyến
⇒IE bằng 1/2MB
mà ME bằng MB bằng 1/2MB
⇒IE bằng ME(1/2MB)
xét\(\Delta\) EIB có IE bằng ME (cmt)
⇒\(\Delta\)EIB cân tại E
⇒\(\widehat{EBI}=\widehat{EIB}\)
mà \(\widehat{HCA}=\widehat{HBC}\)
⇒\(\widehat{EIB}=\widehat{HCA}\)
có \(\widehat{HIM}=\widehat{EIB}\)
⇒\(\widehat{HIM}+\widehat{MEI}=\widehat{EIB}+\widehat{MIE}\)
⇒\(\widehat{HIE}=\widehat{MIB}=90^o\)
⇒ HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB