a, 

1  Ta có ÐCAB = 90⁰ ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐMDC = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>ÐCDB = 90⁰ như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên A và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.

     ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐD₁= ÐC₃( nội tiếp cùng chắn cung AB).

ÐD₁= ÐC₃ => => ÐC₂ = ÐC₃ (hai góc nội tiếp đường tròn  (O) chắn hai cung bằng nhau)

=> CA là tia phân giác của góc SCB.

2, Xét DCMB Ta có BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác  CMB nên BA, EM, CD đồng quy.

3, 

Ta có ÐMEC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ÐMEB = 90⁰.

Tứ giác AMEB có ÐMAB = 90⁰ ; ÐMEB = 90⁰ => ÐMAB + ÐMEB = 180⁰ mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn  => ÐA₂ = ÐB₂ .

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐA₁= ÐB₂( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ÐA₁= ÐA₂ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  ADE

a: Sửa đề: Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H và cắt (O) tại C

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\hat{BOA}=\hat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\hat{OBA}=\hat{OCA}\)

=>\(\hat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến tại C của (O)

b: BD//AO

AO⊥BC

Do đó: BD⊥BC

=>B nằm trên đường tròn đường kính CD

=>CD là đường kính của (O)

a: Xét tứ giác CAOK co

góc CAO+góc CKO=180 độ

nên CAOK là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

CK,CA là tiếp tuyến

nên CK=CA và OC là phân giác của góc AOK(1)

Xét (O) có

DK,DB là tiếp tuyến

nên DK=DB và OD là phân giác của góc KOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

OK^2=KC*KD

=>AC*BD=R^2 ko đổi

c: Xét ΔOAK có OA=OK=AK

nên ΔOAK đều

=>gócc AOK=60 độ

=>góc KOB=120 độ

=>góc KDB=60 độ

mà DK=DB

nên ΔDKB đều