Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{ABO}+\hat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại I
Xét tứ giác AIKE có \(\hat{AIE}=\hat{AKE}=90^0\)
nên AIKE là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOIE vuông tại I có
góc KOA chung
Do đó: ΔOKA~ΔOIE
=>\(\frac{OK}{OI}=\frac{OA}{OE}\)
=>\(OK\cdot OE=OI\cdot OA\)
c: ΔBOA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=5^2-3^2=16=4^2\)
=>BA=4(cm)
Xét ΔBOA vuông tại B có BI là đường cao
nên \(BI\cdot OA=BO\cdot BA\)
=>\(BI\cdot5=3\cdot4=12\)
=>BI=12:5=2,4(cm)
ΔOBC cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot2,4=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔOAB vuông tại B có BI là đường cao
nên \(OI\cdot OA=OB^2\)
=>\(OK\cdot OE=OB^2\)
mà OB=OD
nên \(OK\cdot OE=OD^2\)
=>\(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}\)
Xét ΔOKD và ΔODE có
\(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}\)
góc KOD chung
Do đó: ΔOKD~ΔODE
=>\(\hat{OKD}=\hat{ODE}\)
=>\(\hat{ODE}=90^0\)
=>BD⊥ED tại D
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>DC⊥BE tại C
Xét ΔDBE vuông tại D có DC là đường cao
nên \(BC\cdot BE=BD^2\)
=>\(BE=\frac{6^2}{4,8}=\frac{36}{4,8}=7,5\left(\operatorname{cm}\right)\)
A B C D P Q O I E
a) Ta có: Đường tròn (O;R) có đường kính CD và điểm A nằm trên cung CD => ^CAD=900
=> ^PAQ=900 => \(\Delta\)APQ vuông tại A
Do PQ là tiếp tuyến của (O) tại B => AB là đường cao của \(\Delta\)APQ
=> ^PAB=^AQP (Cùng phụ ^APQ) hay ^CAO=^DQP
Mà \(\Delta\)AOC cân tại O => ^CAO=^ACO => ^DQP=^ACO
Lại có: ^ACO+^PCD=1800 => ^DQP+^PCD=1800
=> Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Xét \(\Delta\)APQ vuông tại A: Có đường trung tuyến AI => \(\Delta\)AIQ cân tại I
=> ^IAQ=^IQA hay ^IAQ=^DQP => ^IAQ=^ACO (Do ^DQP=^ACO)
Hay ^IAQ=^ACD. Mà ^IAQ+^CAI=900 => ^ACD+^CAI=900
=> AI vuông góc với CD (đpcm).
c) Ta thấy tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn
=> 4 đường trung trực của CP;CD;DQ;PQ cắt nhau tại 1 điểm (1)
E là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)CPQ => Trung trực của CP và CD cắt nhau tại E (2)
Từ (1) và (2) => Điểm E nằm trên trung trực của PQ.
Lại có: I là trung điểm PQ => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn EI (*)
AB vuông góc PQ; EI cũng vuông góc PQ => AB//EI hay AO//EI (3)
E thuộc trung trực CD; O là trung điểm CD => OE vuông góc CD.
Mà AI vuông góc CD => OE//AI (4)ư
Từ (3) và (4) => Tứ giác AOEI là hình bình hành => AO=EI (**)
Từ (*) và (**) => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn AO
Mà AO là bk của (O); PQ là tiếp tuyến của (O) tại B
Nên ta có thể nói: Điểm E là điểm cách tiếp tuyến của (O) tại B một khoảng bằng độ dài bán kính của (O)
Vậy khi đường kính CD thay đổi thì điểm E di động trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và cách (O) 1 khoảng bằng độ dài bk của (O).