Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mn - m - n + 1
= m[n - 1] - [n - 1]
= [n - 1][m - 1]
Vì m,n là hai số cp lẻ liên tiếp, ta có:
m = [2x-1]2 = 4x2 - 4x + 1
n = [2x+1]2 = 4x2 + 4x + 1
=> [m-1][n-1] = 4x[x - 1].4x[x+1]
= [x-1]x[x+1].4.4.x
= x[x - 1]. x[x+1].4.4
Vì [x-1]x[x+1] là tích ba số liên tiếp nên chia hết cho 3
=> [n-1][m-1] chia hết cho 3
Lại có:
x[x - 1] và x[x+1] chia hết cho 2 [là tích hai số liên tiếp]
=> [m-1][n-1] chia hết cho 4*2*4*2 = 64 [hai thừa số 4 và hai thừa số chia hết cho 2]
Mà 3,64 nguyên tố cùng nhau
=> [m-1][n-1] chia hết cho 3.64 = 192
Vậy mn-m-n + 1 chia hết cho 192 khi mn, là 2 số cp lẻ liên tiếp
Gọi \(a , b\) là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Ta có thể viết
\(a=(2k-1)^2\) , \(b=(2k+1)^2\)
với \(k \in \mathbb{Z}\). Ta chú ý
ab−a−b+1=(a−1)(b−1)
Tính \(a - 1\) và \(b - 1\):
a−1=(2k−1)2−1=4k(k−1)
\(b-1=\left(2k+1\right)^2-1=4k(k+1)\)
Vậy
ab−a−b+1)=(a−1)(b−1)=16\(k^2\) \((k-1)(k+1)=16k^2(k^2-1)\)
Do đó cần chứng minh \(k^2(k^2-1)k^2(k^2-1)\) chia hết cho \(12\) (vì \(16 \cdot 12 = 192\)). Nhưng (k−1)k(k+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên:
- một trong ba số đó chia hết cho \(3\) ⇒ tích chia hết cho \(3\)
- về \(4\): nếu \(k\) chẵn thì \(k^{2}\) chia hết cho \(4\); nếu \(k\) lẻ thì \(k - 1\) và \(k + 1\) đều chẵn và một trong hai chia hết cho \(4\). Vậy tích chia hết cho \(4\)
Từ hai điều trên suy ra \(k^{2} \left(\right. k^{2} - 1 \left.\right)\) chia hết cho \(3\) và \(4\), do đó chia hết cho \(12\). Kết hợp với hệ số \(16\) ta có
\(a b - a - b + 1 = 16 \cdot \left(\right. k^{2} \left(\right. k^{2} - 1 \left.\right) \left.\right)\)
chia hết cho \(16 \cdot 12 = 192\). Điều phải chứng minh.
Ta có: \(ab-a-b+1=\left(ab-a\right)-\left(b-1\right)=a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)
Mà a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\left(2k-1\right)^2\\b=\left(2k+1\right)^2\end{cases}}\)
Đặt \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)=\left[\left(2k-1\right)^2-1\right]\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\)
\(=\left(4k^2-4k\right)\left(4k^2+4k\right)\)
\(=16k^4-16k^2\)
\(=16k^2\left(k^2-1\right)\)
\(=16k\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
Ta có: \(A⋮16\Rightarrow A⋮4\)
Mà \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow A⋮3\)
\(\Rightarrow A⋮192\left(48=16.4.3\right)\)
1/ n3+n+2=(n+1)(n2-n+2)
Xet chẵn lẻ của n => chia hết cho 2 => hợp số
online math oi, chọn câu trả lời này đi
a) Vì m, n, p là các số tự nhiên lẻ nên ta có thể đặt m = 2a + 1; n = 2b + 1; p = 2c + 1
Khi đó
\(mn+np+pm=\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)+\left(2b+1\right)\left(2c+1\right)+\left(2c+1\right)\left(2a+1\right)\)
\(=4ab+2a+2b+1+4bc+2b+2c+1+4ca+2c+2a+1\)
\(=4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+3\)
Vậy thì mn + np + pm chia 4 dư 3.
b) Ta chứng minh một số chính phương n chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Thật vậy:
Nếu n là bình phương số chẵn thì n = (2k)2 = 4k2 chia hết 4
Nếu n là bình phương số lẻ thì n = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 chia 4 dư 1.
Vậy do mn + np + pm chia 4 dư 3 nên mn + np + pm không là số chính phương.
m=(2k+1)2;n=(2k+3)2m=(2k+1)2;n=(2k+3)2 (k thuộc N)
⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)
Do k;k+1;k+2k;k+1;k+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3
⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3
+ k chẵn ⇒k(k+2)⋮4⇒k(k+2)⋮4
+k lẻ ⇒(k+1)2⋮4⇒(k+1)2⋮4
⇒16k(k+2)(k+1)2⋮64⇒16k(k+2)(k+1)2⋮64
mn−m−n+1⋮192
m=(2k+1)2;n=(2k+3)2m=(2k+1)2;n=(2k+3)2 (k thuộc N)
⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)
Do k;k+1;k+2k;k+1;k+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3
⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3