Bài 1:

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)

Vì \((a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\). Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì \((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\).

Kết hợp với $a+b+c=3$ suy ra $a=b=c=1$

Do đó:

\(M=a^{2016}+2015b^{2015}+2020c=1+2015+2020=4036\)

Bài 2:

Xét hiệu:

\(\frac{x-y}{x+y}-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=(x-y)\left(\frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{x^2+y^2}\right)\)

\(=(x-y).\frac{x^2+y^2-(x+y)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{(x-y)(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2)}{(x^2+y^2)(x+y)}\)

\(=\frac{-2xy(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}\)

Vì \(x>y>0\Rightarrow -2xy(x-y)< 0; (x^2+y^2)(x+y)>0\)

\(\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{-2xy(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}< 0\)

\(\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

Ta có đpcm.

a, Áp dụng bđt Cauchy ta có

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

b, a(a+2)<(a+1)²

=>a²+2a<a²+2a+1(đúng)

a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)

b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko

1/(1+a^2) +1/(1 +b^2) >= 2/(1+ ab)

<=>1/ (1+a^2) +1/(1 +b^2) - 2/(1+ ab) >=0

<=> [1/(1+a^2) - 1/(1+ ab)] + [1/(1 +b^2) - 1/(1+ ab) ] >= 0

<=> [ a(b-a)/(1+a^2)(1+ ab) ] + [ b(a-b)/(1 +b^2)(1+ ab)] >=0

<=> [ a(b-a)(1 +b^2) - b(b-a)(1+a^2) ]/[(1+a^2)(1 +b^2)(1+ ab)^2]>= 0

<=> [(b-a)(a + ab^2 - b + ba^2) ]/[(1+a^2)(1 +b^2)(1+ ab)^2]>= 0

<=> [(b-a)[(a- b)+ ab(b-a)] ]/[(1+a^2)(1 +b^2)(1+ ab)^2]>= 0

<=> [(b-a)^2(ab-1]/[(1+a^2)(1 +b^2)(1+ ab)^2]>= 0

Mẫu số luôn lớn hơn 1

[(b-a)^2 >= 0 với mọi a, b

Vì a, b >= 1 nên ( ab - 1 ) >= 0

=> đpcm.