Bài 2:

\(\vec{PA}=k\vec{PD}\)

=>\(-\vec{AP}=k(\vec{AD}-\vec{AP})\)

=>\(\vec{AP}=\dfrac{k}{k-1}\vec{AD}\)

\(\vec{QB}=k\vec{QC}\)

=>\(\vec{AB}-\vec{AQ}=k(\vec{AC}-\vec{AQ})\)

=>\(\vec{AQ}=\vec{AB}+\dfrac{k}{k-1}(\vec{AC}-\vec{AB})\)

\(\vec{MP} = \vec{AP} - \vec{AM} = \dfrac{k}{k-1}\vec{AD} - \dfrac{1}{2}\vec{AB}\)

\(\vec{MQ}=\vec{AQ}-\vec{AM}\)

\(=\left[\vec{AB}+\dfrac{k}{k-1}(\vec{AC}-\vec{AB})\right]-\dfrac{1}{2}\vec{AB}\)

\(=\dfrac{1}{2}\vec{AB}+\dfrac{k}{k-1}(\vec{AC}-\vec{AB})\)

\(\vec{MP} + \vec{MQ} = \dfrac{k}{k-1}\vec{AD} + \dfrac{k}{k-1}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \dfrac{k}{k-1}(\vec{AC} + \vec{AD} - \vec{AB})\)

\(\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}=\dfrac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AD})-\dfrac{1}{2}\vec{AB}\)

\(=\dfrac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AD}-\vec{AB})\)

=>\(\vec{AC}+\vec{AD}-\vec{AB}=2\vec{MN}\)

\(\vec{MP} + \vec{MQ} = \dfrac{k}{k-1} \cdot 2\vec{MN} \Rightarrow \vec{MN} = \dfrac{k-1}{2k}\vec{MP} + \dfrac{k-1}{2k}\vec{MQ}\)

=>MN,MP,MQ đồng phẳng

=>M,N,P,Q đồng phẳng

Tham khảo:

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG

Ta có: HK // AB

          AB // MN

Suy ra MN // HK

Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)

Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: QM // AD

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)

Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra điều cần chứng minh.

a) Do MM' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' nên M'M//BB'//CC'. Vì vậy MM'//AA'.
Vì vậy tứ giác A'M'MA là hình bình hành. Suy ra: AM//A'M'.
b) Trong mp (AA'M'M), ta có: MA' ∩ AM' = K.
     Do \(K\in A'M\)  và \(A'M\in\left(AB'C'\right)\) nên K (AB'C').

c) Có \(O=AB'\cap A'B\) nên \(O\in\left(AB'C'\right)\cap\left(BA'C'\right)\).
 Suy ra: \(d\equiv CO'\).

d) Trong (AB'C'): C'O ∩ AM' = G vì vậy G ( AMM') . Mà O, M' lần lượt là trung điểm AB' và B'C' nên G là trọng tâm của tam giác AB'C'.