Đáp án D

Đặt: $AB=BC=a$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AC=a\sqrt2$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA$ là chiều cao.

Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ chính là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến $BC$.

Trong mặt phẳng đáy: $AB\perp BC$

Trong mặt phẳng $(SBC)$: $SB\perp BC$

⇒ $\widehat{(ABC),(SBC)}=\widehat{ABS}=60^\circ$

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AB}$

$\sqrt3=\dfrac{SA}{a}$

⇒ $SA=a\sqrt3$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$S_{ABC}=\dfrac12 a^2$

⇒ $V=\dfrac13\cdot\dfrac12 a^2\cdot a\sqrt3 =\dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{AB\cdot SC}$

Ta có: $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{3a^2+2a^2} =a\sqrt5$

Suy ra: $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{6}}{a\cdot a\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt3}{3\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt{15}}{15}$

Đáp án D

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên
$AB = AC$ và $BC = AB\sqrt{2}$

$BC = a\sqrt{2} \Rightarrow AB = AC = a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$
$= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a$
$= \dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì $(SBC)$ tạo với $(ABC)$ góc $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{AH} $

$\Rightarrow SA = AH$

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$
$= \dfrac{a \cdot a}{a\sqrt{2}}$
$= \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{a^3}{6\sqrt{2}}$
$= \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Chọn D

+)Gọi H là chân đường cao hạ từ A - -> BC 
Tam giác AHC vuông tại H nên 
AH = √(a² -a²/4) = a√3/2 
Diện tích tam giác ABC là S(ABC) = 1/2.AH.BC= 1/2.a²√3/2 
(dvdt) 
+)Từ S hạ SK ┴ AH , Kết hợp AH ┴ BC ta có SK ┴ (ABC) 
Hay SK là đường cao của hình chóp đều SABC 
+) Bài cho góc giữa các mặt bên với đáy là 60 độ nên 
góc giữa (SH,HK) = 60 độ 
Tam giác vuông SKH có SK = HK.tan(60) 
Tam giác vuông BKH có HK = a/2.tan(30) = a√3/6 
- - > SK = a√3/6.tan(60) = a/2 
Vậy V(SABC) =1/3.SK.S(ABC) = 1/3.a/2.1/2.a²√3/2 
= a³√3/24 (dvtt)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB = AC = a,; BC = a\sqrt{2}$

Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Mặt bên $(SBC)$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ góc $45^\circ$

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AH} = 1$

$\Rightarrow SH = AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác vuông $SAH$:

$SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = a^2$

$\Rightarrow SA = a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot a = \dfrac{a^3}{6}$

$V = \dfrac{a^3}{6}$

Đáp án B

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC$, $AB = a$.

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

$SB$ tạo với mặt đáy góc $45^\circ$
$\Rightarrow \sin 45^\circ = \dfrac{SA}{SB}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{\sqrt{2}}{2}SB$
$\Rightarrow SB = \sqrt{2},SA$

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$

$(\sqrt{2}SA)^2 = SA^2 + a^2$
$2SA^2 = SA^2 + a^2$
$\Rightarrow SA^2 = a^2$
$\Rightarrow SA = a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC$

Vì tam giác vuông tại $B$, $AB = BC = a$

$\Rightarrow S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a = \dfrac{a^3}{6}$

Viết dưới dạng $a^3\sqrt{3}$:

$\dfrac{a^3}{6} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}$

Chọn D

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Chọn D

Có

Vậy 

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$

Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot BC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì tam giác vuông cân tại $B$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$

tam giác ABC cân tại S là sao vậy bạn

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$. Vì tam giác $SBC$ cân tại $S$ và $(SBC)\perp(ABC)$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra: $BH = HC = \dfrac{a}{2}$, và trong tam giác đều:

$AH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SH}{BH} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SH}{\dfrac{a}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{2\sqrt3}= \dfrac{a^3}{24}$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $M \equiv H$.

Khoảng cách giữa $SB$ và $AM$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Ta có: $d(SB,AM) = d(A,(SBC)) = \dfrac{V_{S.ABC}}{S_{SBC}} \cdot 3$.

Xét tam giác $SBC$ cân tại $S$:

$SB = \sqrt{SH^2 + BH^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2\sqrt3}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Diện tích:

$S_{SBC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot SH= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{2\sqrt3}= \dfrac{a^2}{4\sqrt3}$.

Suy ra: $d(SB,AM) = \dfrac{3V}{S_{SBC}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3}{24}}{\dfrac{a^2}{4\sqrt3}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vậy: $V = \dfrac{a^3}{24}, \quad d(SB,AM) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.