Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a\sqrt{3},0),\ C(a,a\sqrt{3},0)$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, giả sử $S(0,0,h)$.
Vector $\vec{SC} = C-S = (a, a\sqrt{3}, -h)$
Vector $\vec{SB} = B-S = (a,0,-h)$
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$:
Vector pháp tuyến của $(SAB)$:
$\vec{n}_{SAB} = \vec{SA} \times \vec{SB} = (0,0,h) \times (a,0,-h) = (0,ah,0)$
Chiều cao của $SC$ theo pháp tuyến:
$\dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}_{SAB}|}{|\vec{n}_{SAB}|} = \dfrac{|(a,a\sqrt{3},-h) \cdot (0,ah,0)|}{ah} = \sqrt{3}a$
Góc $\theta = 30^\circ \Rightarrow \tan 30^\circ = \dfrac{|\text{SC vuông góc với (SAB)}|}{|SC_{SAB}|} \Rightarrow |SC_{SAB}| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} a = 3a$
Chiều cao $SA = h = a\sqrt{3}$
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3} = a^3$
Vậy thể tích: $V = a^3$
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0)$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.
Vector $\vec{SC} = C-S = (1,3,-h)$
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$, nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10}}$
Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{10}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \sqrt{30}$
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$
Vì $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $A$, đặt: $S(0,0,h)$
Xét cạnh $SC$:
$\vec{SC} = (a,a,-h)$
Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2} \Rightarrow 3(2a^2 + h^2) = 4h^2$
$\Rightarrow 6a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 6a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{6}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{6} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$
a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)
\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
a
