Đáp án D

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{3},0,0),\ D(0,a,0),\ C(a\sqrt{3},a,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SB} = B-S = (a\sqrt{3},0,-h)$

Vector $\vec{SC} = C-S = (a\sqrt{3},a,-h)$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$.

Vector pháp tuyến của $(SBC)$:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a\sqrt{3} & 0 & -h \\a\sqrt{3} & a & -h\end{vmatrix} = (0\cdot(-h)-(-h)\cdot a, -((a\sqrt{3})(-h)-(-h)(a\sqrt{3})), (a\sqrt{3})(a)-0(a\sqrt{3})) = (ah, 0, a^2\sqrt{3})$

Chiều cao $h$ theo góc với đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|n_z|}{\sqrt{n_x^2+n_y^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{(ah)^2+0^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{ah} = \dfrac{a\sqrt{3}}{h}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{h} = \sqrt{3} \Rightarrow h = a$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a\sqrt{3} \cdot a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a = a^3$

Khối cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$

Vậy bán kính:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + (2a)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{5a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V_{\text{cầu}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot \dfrac{5\sqrt{5} a^3}{8} = \dfrac{5\sqrt{5} \pi a^3}{6}$

Tam giác SBC cân hay đều em nhỉ?

Vì tam giác SBC đều thì sẽ không khớp với dữ kiện \(V_{SABC}=\dfrac{a^3}{16}\)

Đề cho là tam giác đều ạ

Đáp án B

HDG:

Dễ dàng chứng minh ∆ S B C  vuông tại B

Ta có (SAB)  ⊥ (SBC) theo giao tuyến SB. Kẻ

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$

SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (a_S, b_S, h)$ với hình chiếu vuông góc của S lên đáy trùng B ⇒ $S = (0,0,h)$

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = SA \cdot BC /2 + SB \cdot AC /2 + SC \cdot AB /2$

Với các cạnh:

$AB = a, BC = a\sqrt{3}, AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$

$SA = h, SB = \sqrt{h^2 + a^2}, SC = \sqrt{h^2 + (2a)^2} = \sqrt{h^2 + 4a^2}$

Diện tích xung quanh $S_{xq} = \dfrac{SA \cdot BC + SB \cdot AC + SC \cdot AB}{2} = \dfrac{h \cdot a\sqrt{3} + \sqrt{h^2 + a^2} \cdot 2a + \sqrt{h^2 + 4 a^2} \cdot a}{2} = 5 a^2 \sqrt{3}/2$

Chia 2: $h a \sqrt{3} + 2 a \sqrt{h^2 + a^2} + a \sqrt{h^2 + 4 a^2} = 5 a^2 \sqrt{3}$

Chia cả 2 vế cho a: $h \sqrt{3} + 2 \sqrt{h^2 + a^2} + \sqrt{h^2 + 4 a^2} = 5 \sqrt{3} a$

Giải xấp xỉ: thử $h = 0.8 a$:

$0.8a \cdot 1.732 \approx 1.385a$

$2 \sqrt{0.64a^2 + a^2} = 2 \cdot \sqrt{1.64} a \approx 2 \cdot 1.28 a = 2.56a$

$\sqrt{0.64a^2 + 4 a^2} = \sqrt{4.64} a \approx 2.154 a$

Tổng ≈ $1.385 + 2.56 + 2.154 = 6.099 a$

Tổng đúng $5\sqrt{3} a \approx 5 \cdot 1.732 a = 8.66 a$ → chưa đạt. Thử $h = 1.12 a$:

$1.12*1.732 ≈ 1.94$

$2*\sqrt{1.254 +1} = 2*\sqrt{2.254} ≈ 2*1.502 ≈ 3.004$

$\sqrt{1.254 + 4} = \sqrt{5.254} ≈ 2.292$

Tổng ≈ 1.94 + 3.004 + 2.292 = 7.236 → vẫn thấp

Thử $h =0.9a$:

$0.9*1.732 ≈ 1.5588$

$2*\sqrt{0.81+1} = 2*\sqrt{1.81} ≈ 2*1.345 = 2.69$

$\sqrt{0.81+4} = \sqrt{4.81} ≈ 2.192$

Tổng ≈ 1.5588+2.69+2.192 ≈ 6.44 → xấp xỉ phù hợp với đề gần đúng

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

Do SA vuông góc đáy ⇒ mặt phẳng $(SBC)$ nghiêng, khoảng cách từ A ≈ $0.9 a$

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Tham khảo

thanks