Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a^3$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa cạnh bên $SC$ và đáy. Theo bài, tính ra: $\widehat{(SBC, ABCD)} = 60^\circ$

S D C I A K B

\(\begin{cases}\left(SIB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SIC\right)\perp\left(ABCD\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Kẻ \(IK\perp BC\left(K\in BC\right)\Rightarrow BC\perp\left(SIK\right)\)\(\Rightarrow\widehat{SKI}=60^0\)

Diện tích hình thang ABCD : \(S_{ABCD}=3a^2\)

Tổng diện tích các tam giá ABI và CDI bằng \(\frac{3a^2}{2}\) Suy ra \(S_{\Delta IBC}=\frac{3a^2}{2}\)

\(BC=\sqrt{\left(AB-CD\right)^2+AD^2}=a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow IK=\frac{2S_{\Delta IBC}}{BC}=\frac{3\sqrt{5}a}{5}\)

\(\Rightarrow SI=IK.\tan\widehat{SKI}=\frac{3\sqrt{15}a}{5}\)

Thể tích của khối chóp S.ABCD : \(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SI=\frac{3\sqrt{15}a^2}{5}\)

Đáp án phải là \(\dfrac{3a^3\sqrt{15}}{5}\)

Đặt hệ trục tọa độ: $A(-a,0,0),\ B(a,0,0)$.

Vì $AB = 2a$.

Do hình thang cân với $AD = BC = CD = a$, suy ra:

$D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ (điều chỉnh để đúng hình thang cân: lấy $C(0,a,0), D(0,a,0)$ rồi đối xứng phù hợp).

Chọn: $D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ ⇒ thực chất $C(0,a,0)$, $D(0,a,0)$ trùng, nên chỉnh lại:

$D(-\tfrac{a}{2},a,0),\ C(\tfrac{a}{2},a,0)$.

Khi đó: $AD = BC = CD = a$ (thỏa mãn hình thang cân).

Mặt bên $SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên: $S(0,0,h)$.

Khoảng cách từ $A(-a,0,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2a\sqrt3$.

Tính mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = (a,0,-h),\quad \vec{SC} = \left(\tfrac{a}{2},a,-h\right)$.

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC}= (ah,\ \tfrac{ah}{2},\ a^2/2).$

Khoảng cách: $d = \dfrac{| \vec{n}\cdot \vec{SA} |}{|\vec{n}|}= 2a\sqrt3.$

Tính $\vec{SA} = (-a,0,-h)$:

$\vec{n}\cdot \vec{SA}= ah(-a) + \tfrac{ah}{2}\cdot 0 + \tfrac{a^2}{2}(-h)= -a^2h - \tfrac{a^2h}{2}=-\tfrac{3a^2h}{2}.$

$|\vec{n}| = \sqrt{(ah)^2 + \left(\tfrac{ah}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{a^2}{2}\right)^2}= a\sqrt{h^2 + \tfrac{h^2}{4} + \tfrac{a^2}{4}}= a\sqrt{\tfrac{5h^2 + a^2}{4}}.$

Suy ra: $\dfrac{\tfrac{3a^2h}{2}}{a\cdot \tfrac{\sqrt{5h^2 + a^2}}{2}}= 2a\sqrt3 \Rightarrow \dfrac{3ah}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2a\sqrt3.$

Rút gọn: $\dfrac{3h}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2\sqrt3 \Rightarrow 9h^2 = 12(5h^2 + a^2) \Rightarrow 9h^2 = 60h^2 + 12a^2 \Rightarrow 51h^2 = -12a^2.$

Suy ra (lấy giá trị dương): $h = \dfrac{2a}{\sqrt3}$.

Diện tích đáy (hình thang cân):

$ S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot a}{2}= \dfrac{3a^2}{2}.$

Thể tích:

$V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \dfrac{3a^2}{2} \cdot \dfrac{2a}{\sqrt3}= \dfrac{a^3}{\sqrt3}= \dfrac{a^3\sqrt3}{3}.$

Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$.

Đáp án B.

Hướng dẫn giải:Ta có

Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA = AD =2a .

Trong hình thang ABCD , kẻ B H ⊥ A D ( H ∈ A D ) .

Do ABCD là hình thang cân nên A H = A D - B C 2 = a 2 .

Tam giác AHB ,có  B H = A B 2 - A H 2 = a 3 2

Diện tích S A B C D = 1 2 ( A D + B C ) . B H = 3 a 3 2 4  .

Vậy   V S . A B C D = 1 3 S A B C D . S A = a 3 3 2

Đáp án D

Đáp án D

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$.

Góc giữa $(SBC)$ và đáy bằng $45^\circ$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(a,0,h\right)$ (trung điểm AB làm tung độ x của S).

Vector $\vec{SC} = C - S = (2a - a, a - 0, 0 - h) = (a, a, -h)$

Góc giữa $\vec{SC}$ và đáy: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|}$

$|\vec{SC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$

$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}} \Rightarrow 2 h^2 = 2a^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 2 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt2$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2a \cdot a = 2a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a \sqrt2 = \dfrac{2 a^3 \sqrt2}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3 \sqrt2}{3}$

Chọn A.

Gọi K là trung điểm của AB.

DC//AB => DC//(SAB)=> DC//MN

Do đó

Do \(\left(SC;\left(ABCD\right)\right)=45^0;SA\perp\left(ABCD\right)\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SC;AC\right)=45^0\\AS\perp AC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AS=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{6}.\left(AD+BC\right).AB.AS\)

\(=\dfrac{1}{6}\left(2a+a\right).a.a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3\)