Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
.
là VTCP của 2 đường thẳng d và d’. Nếu 
thì:
. Khi đó 
bằng:
. Tính 
. Khi đó:
.
. Tìm b.
.
. Tính 
.
và 
. Khi đó:
.
với 
.
và 
. Khi đó 
bằng:
. Khi đó 
bằng:
. Khi đó 
bằng
. Tính 
.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), C(a,b,0)$, với $b$ chưa biết.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.
Vector $SC = C - S = (a,b,-h)$
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^\circ$, nên:
$\tan 45^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow h = \sqrt{a^2 + b^2}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: $R = a\sqrt{2}$
Vì $SA \perp$ đáy và theo góc 45$^\circ$, ta có:
$h = 2a$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot b$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot 2a = \dfrac{2 a^2 b}{3}$
Từ $\tan 45^\circ = h / \sqrt{a^2 + b^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} = h = 2a \Rightarrow a^2 + b^2 = 4a^2 \Rightarrow b^2 = 3a^2 \Rightarrow b = a \sqrt{3}$
Vậy thể tích:
$V = \dfrac{2 a^2 \cdot a \sqrt{3}}{3} = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0)$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.
Vector $\vec{SC} = C-S = (1,3,-h)$
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$, nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10}}$
Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{10}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \sqrt{30}$
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$
Dễ dàng chứng minh \(BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp SC\)
Gọi O là tâm đáy, kẻ \(OH\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(BDH\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BHD}\) hoặc góc bù của nó là góc giữa (SBC) và (SCD) \(\Rightarrow\widehat{BHD}=60^0\) hoặc \(120^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BHO}\) bằng \(30^0\) hoặc \(60^0\)
Tam giác ABD đều \(\Rightarrow BD=a\) \(\Rightarrow OB=\dfrac{a}{2}\)
TH1: \(\widehat{BHO}=30^0\)
\(\Rightarrow OH=\dfrac{OB}{tan30^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=OC\Rightarrow\Delta\) vuông OCH có cạnh huyền bằng cạnh góc vuông (loại)
TH2: \(\widehat{BHO}=60^0\Rightarrow OH=\dfrac{OB}{tan60^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(\Rightarrow SA=AC.tan\widehat{SCA}=AC.\dfrac{OH}{\sqrt{OC^2-OH^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
Từ A kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(AD||BC\Rightarrow AD||\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(BK;AD\right)=d\left(AD;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AM\)
\(\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{11}{3a^2}\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{33}}{11}\)
Chọn đáp án D
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC. Khi đó OI ⊥ (ABCD)
⇒ IA = IB = IC = ID với ∆ S A C vuông tại A, IA = IS = IC. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra IA = a 2 ⇒ SC = 2a 2 . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Suy ra ∆ S A C vuông cân
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), C(a,b,0)$, với $b$ chưa biết.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^\circ$, nên:
$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow h = \sqrt{a^2 + b^2}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$
Vì $R = a\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)}}{2} = a \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2}$
Thay $h^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{2(a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2} \Rightarrow a^2 + b^2 = 4 a^2 \Rightarrow b^2 = 3 a^2 \Rightarrow b = a \sqrt{3}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot b = a \cdot a \sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$
Chiều cao $SA = h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + 3 a^2} = \sqrt{4 a^2} = 2 a$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \sqrt{3} \cdot 2 a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{3},0,0),\ D(0,a,0),\ C(a\sqrt{3},a,0)$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.
Vector $\vec{SB} = B-S = (a\sqrt{3},0,-h)$
Vector $\vec{SC} = C-S = (a\sqrt{3},a,-h)$
Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$.
Vector pháp tuyến của $(SBC)$:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a\sqrt{3} & 0 & -h \\a\sqrt{3} & a & -h\end{vmatrix} = (0\cdot(-h)-(-h)\cdot a, -((a\sqrt{3})(-h)-(-h)(a\sqrt{3})), (a\sqrt{3})(a)-0(a\sqrt{3})) = (ah, 0, a^2\sqrt{3})$
Chiều cao $h$ theo góc với đáy:
$\tan 60^\circ = \dfrac{|n_z|}{\sqrt{n_x^2+n_y^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{(ah)^2+0^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{ah} = \dfrac{a\sqrt{3}}{h}$
Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{h} = \sqrt{3} \Rightarrow h = a$
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a\sqrt{3} \cdot a = 3a^2$
Thể tích khối chóp:
$V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a = a^3$
Khối cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$
Vậy bán kính:
$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + (2a)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{5a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V_{\text{cầu}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot \dfrac{5\sqrt{5} a^3}{8} = \dfrac{5\sqrt{5} \pi a^3}{6}$