a) Thay m=2 vào hpt, ta có \(\hept{\begin{cases}-x+2y=6\\6x-y=-4\end{cases}}\)

                                           \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=6x+4\\-x+12x+8=6\end{cases}}\)

                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}11x=-2\\y=6x+4\end{cases}}\)

                                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{11}\\y=\frac{32}{11}\end{cases}}\)

Vậy m=2 thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-2}{11};\frac{32}{11}\right)\)

b) Ta có \(\hept{\begin{cases}\left(m-3\right)x+2y=6\\y=3mx+4\end{cases}}\)

           \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3mx+4\left(1\right)\\mx-3x+6mx+8=6\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(7m-3\right)x=-2\)

Hpt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\)pt (2) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow7m-3\ne0\Leftrightarrow m\ne\frac{3}{7}\)(*)

Khi đó \(\left(2\right)\Leftrightarrow x=\frac{-2}{7m-3}\). Thay vào (1) \(\Leftrightarrow y=\frac{-6m}{7m-3}+4=\frac{-6m+28m-12}{7m-3}=\frac{22m-12}{7m-3}\)

Vậy \(m\ne\frac{3}{7}\)thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-2}{7m-3};\frac{22m-12}{7m-3}\right)\)

Vì 2x+y>0\(\Rightarrow\frac{-4}{7m-3}+\frac{22m-12}{7m-3}>0\)

                \(\Leftrightarrow\frac{22m-16}{7m-3}>0\)

                \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}22m-16>0;7m-3>0\\22m-16< 0;7m-3< 0\end{cases}}\)

               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>\frac{8}{11};m>\frac{3}{7}\\m< \frac{8}{11};m< \frac{3}{7}\end{cases}}\)

               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>\frac{8}{11}\\m< \frac{3}{7}\end{cases}}\)

Kết hợp vs đk (*) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m>\frac{8}{11}\\m< \frac{3}{7}\end{cases}}\)thì 2x+y>0

Bài 2:

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m-2}{1}<>\frac{-3}{m}\)

=>m(m-2)<>-3

=>\(m^2-2m+3<>0\)

=>\(m^2-2m+1+2<>0\)

=>\(\left(m-1\right)^2+2<>0\) (luôn đúng)

=>Hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\begin{cases}\left(m-2\right)x-3y=-5\\ x+my=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(m-2\right)x-3y=-5\\ \left(m-2\right)x+\left(m^2-2m\right)y=3\left(m-2\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\left(m-2\right)x+\left(m^2-2m\right)y-\left(m-2\right)x+3y=3\left(m-2\right)+5\\ x+my=3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(m^2-2m+3\right)=3m-1\\ x=3-my\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{3m-1}{m^2-2m+3}\\ x=3-\frac{m\left(3m-1\right)}{m^2-2m+3}=\frac{3m^2-6m+9-3m^2+m}{m^2-2m+3}=\frac{-5m+9}{m^2-2m+3}\end{cases}\)

\(\hept{\begin{cases}mx+y=4\\x-my=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+m^2y+y=4\\x=1+my\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1+my\\y\left(m+1\right)=4-m\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4-m}{m^2+1}\\x=\frac{m^2+1+4m-m^2}{m^2+1}=\frac{4m+1}{m^2+1}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow x+y=\frac{8}{m^2+1}\Leftrightarrow\frac{4-m+4m+1}{m^2+1}=\frac{8}{m^2+1}\)

<=> 5+3m=8 <=> m=1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4+1}{1+1}=\frac{5}{2}\\y=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}}\)