A B C D M E F G H N P Q I K

Gọi EFGH là tứ giác nội tiếp hình vuông

(\(E\in AB,F\in BC,G\in CD,H\in AD\)) , Từ E,F,G,H lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với BD tại P,Q,M,N; I và K là giao điểm của AG và EF.

Ta có : \(AI\ge AM=MP;GI\ge MP=GM;EK\ge EP=BP;KF\ge FQ=BK\)

\(\Rightarrow AG+EF=AI+IG+EK+KF\ge\left(PM+BQ\right)+\left(PN+BP\right)\)

Mặt khác, lại có : \(EH\ge NP;FG\ge MQ\)

\(\Rightarrow EF+FG+GH+HE\ge\left(PM+MQ+BQ\right)+\left(PN+NP+BP\right)\)

                                          \(=BD+BD=2\)

\(\Rightarrow EF+FG+GH+GE\ge2\) (dpcm)

Ta có $EF=2.AI,EH=2.IJ,GH=2.CK,EG=2.IK$( Áp dụng tính chất đường trung bình và trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Suy ra \(P_{EFGH}=2\left(AI+IJ+JK+KC\right)\ge2AC=2\)

Theo định lí Pytago ta có:

\(EH=\sqrt{AE^2+AH^2}\ge\frac{AE+AH}{\sqrt{2}}\)

Tương tự

\(EF\ge\frac{BE+BF}{\sqrt{2}}\)

\(FG\ge\frac{CF+CG}{\sqrt{2}}\)

\(HG\ge\frac{DG+HD}{\sqrt{2}}\)

Cộng từng vế ta được : \(EH+EF+FA+GH\ge\frac{AB+BC+CA+AD}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}\)

Dễ chứng minh : \(AB=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow P_{EFGH}\ge\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E,F,G,H lần lượt là trung điểm các cạnh tương ứng

sao lẠI CÓ THể nói như vậy

Nguyễn PHương Thảo do các điều trên đều nhân 2 rồi công nên áp dụng tc kết hợp

lúc đầu áp dụng định lí pytago vào tam giác nào mới có EH= chứ

sai

Chỗ nào bạn?

À , mình sai mấy dòng bất đẳng thức 

bạn giải thích lại phần trung tuyến và trung bình đi, mình không hiểu lắm