Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D E F K G I
a) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)ADF: AB=AD; ^ABE=^ADF=900; ^BAE=^DAF (Cùng phụ với ^DAE)
=> \(\Delta\)ABE=\(\Delta\)ADF (g.c.g) => AE=AF (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)AEF vuông cân tại A (Do ^EAF=900)
=> Trung tuyến AI của \(\Delta\)AEF đồng thòi là đường trung trực của EF
Ta thấy 2 điểm K và G nằm trên AI nên GE=GF; KE=KF (1)
Lại có: GE//AB hay GE//CD => ^GEF=^KFE. Mà ^KFE=^KEF (Do tam giác EKF cân tại K)
=> ^GEF=^KEF => EF hay EI là đường phân giác ^GEK
Xét \(\Delta\)EGK: EI\(\perp\)GK; EI là phân giác ^GEK => \(\Delta\)EGK cân tại E => EG=EK (2)
Từ (1) và (2) => GE=GF=KE=KF => Tứ giác EKFG là hình thoi (đpcm).
b) Ta có: EF\(\perp\)AK tại I (Dễ chứng minh) => \(\Delta\)FIK ~ \(\Delta\)FCE (g.g)
=> \(\frac{FI}{FC}=\frac{FK}{FE}\)=> FK.FC = FI.FE
Vì tam giác AEF vuông tân tại A và có đường trung tuyến AI => AI=FI
=> FK.FC=AI.EF (đpcm).
c) CECK= CE+CK+EK = CE+CK+FK (Do EK=FK) = CK+CE+DK+DF
Ta có: \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADF (cmt) => BE=DF => CECK=CK+CE+DK+BE=CD+BC
Mà CD và BC không đổi => CECK không đổi khi E thay đổi trên BC (đpcm).
Ta có
góc FAD+DAE=90•
DAE+EAB=90•
-> FAD=EAB
xet tam giác AEB và tam giác ADF có
AB=AD( ABCD là hình vuông)
ABE=ADF=90•
FAD=EAB
suy ra tam giac ABE=tam giác ADF(g.c.g)
-> AF=AE
a: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{DAE}=\hat{BAD}=90^0\)
\(\hat{FAD}+\hat{DAE}=\hat{FAE}=90^0\)
Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)
Xét ΔABE vuông tại B và ΔADF vuông tại D có
AB=AD
\(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)
Do đó: ΔABE=ΔADF
=>AE=AF
=>ΔAEF cân tại A
Xét ΔAEF cân tại A có \(\hat{EAF}=90^0\)
nên ΔAEF vuông cân tại A
ΔAEF vuông cân tại A
mà AK là đường trung tuyến
nên AK là phân giác của góc FAE
=>\(\hat{FAK}=\hat{EAK}=\frac12\cdot\hat{FAE}=45^0\)
ABCD là hình vuông
=>CA là phân giác của góc BCD
=>\(\hat{DCA}=\hat{BCA}=45^0\)
Xét ΔFAK và ΔFCA có
\(\hat{FAK}=\hat{FCA}\left(=45^0\right)\)
góc AFK chung
Do đó: ΔFAK~ΔFCA
=>\(\frac{FA}{FC}=\frac{FK}{FA}\)
=>\(FA^2=FK\cdot FC\)
b: Xét ΔAFK và ΔAEK có
AF=AE
\(\hat{FAK}=\hat{EAK}\)
AK chung
Do đó: ΔAFK=ΔAEK
=>KF=KE
ΔADF=ΔABE
=>DF=BE
CHu vi tam giác EKC là:
EK+KC+EC
=KF+KC+EC
=FC+EC
=DC+FD+EC
=DC+BE+EC
=DC+BC
=2BC không đổi