Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Qua A, kẻ AK⊥ AM tại A
Ta có: \(\hat{KAD}+\hat{DAN}=\hat{KAN}=90^0\)
\(\hat{DAN}+\hat{BAN}=\hat{BAD}=90^0\)
Do đó: \(\hat{KAD}=\hat{NAB}\)
Xét ΔKAD vuông tại D và ΔNAB vuông tại B có
AD=AB
\(\hat{KAD}=\hat{NAB}\)
Do đó: ΔKAD=ΔNAB
=>AK=AN
Xét ΔAKM vuông tại A có AD là đường cao
nên \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AM^2}\)
=>\(\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{a^2}\) không đổi
a: Qua A, kẻ AK⊥ AM tại A
Ta có: \(\hat{KAD}+\hat{DAM}=\hat{KAM}=90^0\)
\(\hat{DAM}+\hat{BAM}=\hat{BAD}=90^0\)
Do đó: \(\hat{DAK}=\hat{BAM}\)
Xét ΔDAK vuông tại D và ΔBAM vuông tại B có
DA=BA
\(\hat{DAK}=\hat{BAM}\)
Do đó: ΔDAK=ΔBAM
=>AK=AM
Xét ΔAKN vuông tại A có AD là đường cao
nên \(\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\)
=>\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{a^2}\) không đổi
a: Qua A, kẻ AK⊥ AM tại A
Ta có: \(\hat{KAD}+\hat{DAN}=\hat{KAN}=90^0\)
\(\hat{DAN}+\hat{BAN}=\hat{BAD}=90^0\)
Do đó: \(\hat{KAD}=\hat{NAB}\)
Xét ΔKAD vuông tại D và ΔNAB vuông tại B có
AD=AB
\(\hat{KAD}=\hat{NAB}\)
Do đó: ΔKAD=ΔNAB
=>AK=AN
Xét ΔAKM vuông tại A có AD là đường cao
nên \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AM^2}\)
=>\(\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{a^2}\) không đổi
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia BC tại E.
Tam giác AEM vuông tại A có \(AB\perp EM\)
Ta có: \(S_{AEM}=\dfrac{1}{2}AE.AM=\dfrac{1}{2}AB.ME\)
\(\Rightarrow AE.AM=AB.ME\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}=\dfrac{ME}{AE.AM}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}\left(1\right)\)
Áp dụng đl pytago vào tam giác vuông AEM:
\(AE^2+AM^2=ME^2\)
Thay vào (1) ta có:
\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{AE^2+AM^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)
Mà AE = AN nên: \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)
a) + ΔABM = ΔADN ( g.c.g )
=> AM = AN
b) + ΔANI vuông tại A, đg cao AD
\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AI^2}\) ( theo hệ thức lượng trog Δ vuông )
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}\)
Lời giải:
a)
Xét tam giác $AND$ và $AMB$ có:
\(\widehat{ADN}=\widehat{ABM}=90^0\)
\(\widehat{DAN}=\widehat{BAM}(=90^0-\widehat{DAM})\)
\(\Rightarrow \triangle AND\sim \triangle AMB(g.g)\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=1\) (do $ABCD$ là hình vuông nên $AB=AD$)
\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)
b)
Ta thấy $MC\parallel AD$ nên áp dụng định lý Ta-let:
\(\frac{AM}{AI}=\frac{CD}{DI}\Rightarrow AM=\frac{AI.CD}{DI}\)
Từ đây kết hợp với điều kiện $AB=AD=CD$ và định lý Pitago ta có:
\(\Rightarrow \frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2}{AI^2.CD^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2+CD^2}{AI^2.CD^2}=\frac{DI^2+AD^2}{AI^2.AB^2}=\frac{AI^2}{AI^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại Q
Ta có: \(\angle MAQ+\angle MCQ=90+90=180\Rightarrow AMCQ\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AMQ=\angle ACQ=45\) mà \(\Delta MAQ\) vuông tại A
\(\Rightarrow\Delta MAQ\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AM=AQ\)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(QAN\) có \(AD\bot NQ\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AQ^2}+\dfrac{1}{AN^2}\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)