Sơ đồ minh họa:

A E D C F B

Ta có:

\(S_{AED}=\frac{1}{2}\times AD\times AE=\frac{1}{2}\times AD\times\left(\frac{1}{4}\times AB\right)\)

          \(=\frac{1}{8}\times AD\times AB=\frac{1}{8}\times S_{ABCD}\)

\(S_{BEF}=\frac{1}{2}\times BE\times BF=\frac{1}{2}\times\left(\frac{3}{4}\times AB\right)\times\left(\frac{1}{4}\times BC\right)\)

          \(=\frac{3}{32}\times AB\times BC=\frac{3}{32}\times S_{ABCD}\)

\(S_{CDF}=\frac{1}{2}\times CD\times CF=\frac{1}{2}\times CD\times\left(\frac{3}{4}\times CB\right)\)

          \(=\frac{3}{8}\times CD\times CB=\frac{3}{8}\times S_{ABCD}\)

Do đó: \(S_{AED}+S_{BEF}+S_{CDF}=\)

          \(=\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{32}+\frac{3}{8}\right)\times S_{ABCD}\)

          \(=\frac{19}{32}\times S_{ABCD}\)

Suy ra:

\(S_{DEF}=S_{ABCD}-\left(S_{AED}+S_{BEF}+S_{CDF}\right)\)

          \(=S_{ABCD}-\frac{19}{32}\times S_{ABCD}=\frac{13}{32}\times S_{ABCD}\)

Vậy \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABCD}}=\frac{13}{32}\)

M là trung điểm của BC

=>\(BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

Ta có: AP+PB=AB

CQ+QD=CD

mà AP=CQ và AB=CD

nên PB=QD

ΔMCQ vuông tại C

=>\(S_{CMQ}=\frac12\cdot CM\cdot CQ=\frac12\cdot6\cdot CQ=3\cdot CQ\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ΔPBM vuông tại B

=>\(S_{PBM}=\frac12\cdot BP\cdot BM=\frac12\cdot BP\cdot6=3\cdot BP\left(\operatorname{cm}^2\right)\) =3DQ\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích hình thang vuông APQD là:

\(S_{APQD}=\frac12\left(AP+QD\right)\cdot AD=\frac12\cdot\left(CQ+QD\right)\cdot AD=\frac12\cdot CD\cdot AD=\frac12\cdot16\cdot12=8\cdot12=96\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ABCD là hình chữ nhật

=>\(S_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot12=192\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{APQD}+S_{PBM}+S_{CQM}+S_{PQM}=192\)

=>\(96+3\cdot DQ+3\cdot CQ+S_{PQM}=192\)

=>\(3\left(DQ+CQ\right)+S_{PQM}=192-96=96\)

=>\(3\cdot DC+S_{PQM}=96\)

=>\(S_{PQM}=96-48=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích của ABCD là:

18×12=216 cm^2
ABCD là HCN

=> AD=BC ; MB=MC

=> BM=CM =6 cm

S∆ABM = 18×6÷2 = 54 cm^2

ABCD là HCM =) AB= CD, mà DN=NC =⇒ DN=CN=9 cm

S∆NCM =  9×6÷2 = 27 cm^2
S∆ADN = 12×9÷2 = 54 cm^2
Ta có S∆AMN= S abcd - S∆ABM - S∆NCM - S∆ADN
          S∆AMN = 216 -54-27-54 =81