a: Xét ΔEAD và ΔEBK có

góc EAD=góc EBK

góc AED=góc BEK

=>ΔEAD đồng dạng với ΔEBK

b: Xét ΔAED và ΔHDC có

góc AED=góc HDC

góc A=góc DHC
=>ΔAED đồng dạngvới ΔHDC
=>AE/HD=AD/HC

=>AE*HC=HD*AD

d: CD^2+CB*KB

=BC^2+BC*KB

=BC*(BC+KB)

=BC*KC

=CD*KC=CH*KD

A B C D H K 1 2 E

a) Xét hai tam giác vuông ADE và BKE có:

\(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\) (đđ)

Do đó: \(\Delta ADE\sim\Delta BKE\) (g.g)

b) Xét hai tam giác vuông ADE và HCD có:

\(\widehat{HDC}=\widehat{E_1}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ADE}\) )

Do đó: \(\Delta ADE\sim\Delta HCD\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{HC}=\dfrac{AE}{HD}\Leftrightarrow AD.HD=HC.AE\)

c) Do ABCD là hình vuông nên AB=AD=BC=CD=6 (cm)

Vì \(\Delta ADE\sim\Delta BKE\) nên \(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AD}{BK}=2\) (Vì \(BE=\dfrac{1}{3}AB\))

\(\Rightarrow BK=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{6}{2}=3\) (cm)

\(\Rightarrow CK=BC+BK=6+3=9\) (cm)

Do đó: \(S_{CDK}=\dfrac{CD.CK}{2}=\dfrac{6.9}{2}=27\) (cm²).

d) Ta có: \(\dfrac{CH.KD}{2}=\dfrac{CD.CK}{2}\left(=S_{CDK}\right)\)

\(\Leftrightarrow CH.KD=CD.CK=CD\left(CB+KB\right)=CD.CB+CD.KB=CD.CD+CB.KB=CD^2+CB.KB\) (Vì CD = CB)

A B C D E K H aed hdc dd

a, xét tam giác ADE và tam giác BKE có:

góc DAE=góc EBK=90 độ

AED=KEB (đối đỉnh)

=> tam giác ADE~tam giác BKE

b, xét tam giác AED và tam giác HDC có:

EAD=DHC=90 độ

AED=HDC (so le trong)

=> AED~HDC

=>AE/HD=AD/HC

=> đpcm

c, ABCD là hình vuông

=> AB=BC=DC=AD=6cm

S CDE= 1/2. 6.6 = (tự tính)

$\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$

$\angle ABC=\angle HBA$

$\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle HBA$ (g.g).

Suy ra:

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

$BC=BH+HC=4+9=13$

$AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52$

$\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}$.

Từ các tam giác đồng dạng:

$AH^2=BH\cdot HC=4\cdot9=36$

$\Rightarrow AH=6\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=AH\cos\angle BAH$

Mà từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AD=HC=9\text{ cm}$

Tương tự:

$AE=BH=4\text{ cm}$.

Vì $\angle DAE=90^\circ$ nên:

$DE^2=AD^2+AE^2$

$=9^2+4^2$

$=97$

$\Rightarrow DE=\sqrt{97}\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=HC,\quad AE=BH$

$AB^2=BH\cdot BC$

$AC^2=HC\cdot BC$

$\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{HC}}$

Mặt khác:

$\frac{AD}{AE}=\frac{HC}{BH}$.

Cách nhanh hơn, dùng $AB=2\sqrt{13}, AC=3\sqrt{13}$:

$AD\cdot AB=9\cdot2\sqrt{13}=18\sqrt{13}$

$AE\cdot AC=4\cdot3\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

Hai vế không bằng nhau, nên với dữ kiện câu b thì mệnh đề c như đề ghi không đúng.

Có khả năng đề bài bị nhầm vị trí $D,E$ hoặc câu c có điều kiện khác. Bạn kiểm tra lại đề nhé

Với câu d, nếu dùng đúng cách xác định $D,E$ như đề thì đặt:

$BH=m,\quad HC=n$

Khi đó:

$AD=HC=n,\quad AE=BH=m$

$S_{ADE}=\frac12mn$

Mặt khác:

$S_{ABC}=\frac12AB\cdot AC$

$AB=\sqrt{m(m+n)},\quad AC=\sqrt{n(m+n)}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac12(m+n)\sqrt{mn}$

Do đó:

$S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}$.

Điều kiện:

$S_{ADE}=\frac13S_{BDEC}$

$\Rightarrow4S_{ADE}=S_{ABC}$

$\Rightarrow2mn=(m+n)\sqrt{mn}$

$\Rightarrow2\sqrt{mn}=m+n$

Theo bất đẳng thức:

$m+n\ge2\sqrt{mn}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$m=n$

$\Rightarrow BH=HC$

$\Rightarrow AB=AC$.

Vậy tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.

giúp mink với