vgfykgkuy

mk bt nhưng mk ko bt

Câu hỏi của Hàn Hy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại đây nhé.

Còn sống ko vậy

Đặt $A(0,0),\ B(2R,0),\ O(R,0)$ và gọi $M(x,y)$.

Vì $M$ thuộc nửa đường tròn $(O;R)$ nên:

$(x-R)^2+y^2=R^2$

$\Rightarrow x^2+y^2=2Rx$.

Vì $KD\perp AB$ nên $D,E$ có cùng hoành độ với $K$. Gọi $K(k,0)$.

Do $D\in AM$ nên phương trình $AM$ cho:

$D\left(k,\dfrac{ky}{x}\right)$.

Do $E\in BM$ nên:

$E\left(k,\dfrac{ky}{x-2R}\right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của $DE$.

Khi đó:

$x_I=k$

và

$y_I=\dfrac12\left(\dfrac{ky}{x}+\dfrac{ky}{x-2R}\right)$

$=\dfrac{ky(x-R)}{x(x-2R)}$.

Mặt khác, vì $MI\perp MO$ nên:

$MO$ có hệ số góc $\dfrac{y}{x-R}$.

Do đó $MI$ có hệ số góc $-\dfrac{x-R}{y}$.

Phương trình $MI$:

$y-y_M=-\dfrac{x-R}{y}(X-x)$.

Cho $X=k$:

$y_I=y-\dfrac{x-R}{y}(k-x)$

$=y+\dfrac{(x-R)(x-k)}{y}$

$=\dfrac{y^2x+(x-R)x(x-k)}{xy}$.

Từ $x^2+y^2=2Rx$:

$y^2=x(2R-x)$.

Suy ra:

$y_I=\dfrac{x^2(2R-x)+(x-R)x(x-k)}{xy}$

$=\dfrac{x[(2R-x)x+(x-R)(x-k)]}{xy}$

$=\dfrac{(x-R)ky}{x(x-2R)}$

$=y_I$.

Vậy điểm $I$ đúng là trung điểm của $DE$.

$\boxed{I\text{ là trung điểm của }DE}$

A B C O M D E H K I P

a) Xét tứ giác ABOC: ^ABO=^ACO=90⁰ (Do AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O))

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn dường kính AO (1)

Ta có: DE là dây cung của (O), I là trung điểm DE => OI vuông góc DE => ^OIA=90⁰

Xét tứ giác ABOI: ^ABO=^OIA=90⁰ => Tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính AO (2)

(1) + (2) => Ngũ giác ABOIC nội tiếp đường tròn

Hay 4 điểm B;O;I;C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).

b) Gọi P là chân đường vuông góc từ D kẻ đến OB

Ta có: Tứ giác BOIC nội tiếp đường tròn => ^ICB=^IOP (Góc ngoài tại đỉnh đối) (3)

Dễ thấy tứ giác DIPO nội tiếp đường tròn đường kính OD

=> ^IOP=^IDP (=^IDK) (4)

(3) + (4) => ^ICB=^IDK (đpcm).

c) ^ICB=^IDK (cmt) => ^ICH=^IDH => Tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn

=> ^DIH=^DCH hay ^DIH=^DCB.

Lại có: ^DCB=^DEB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD) => ^DIH=^DEB

Mà 2 góc trên đồng vị => IH // EB hay IH // EK

Xét tam giác KDE: I là trung điểm DE (Dễ c/m); IH // EK; H thuộc DK

=> H là trung điểm DK (đpcm).

Vì $KD\perp AB$ và $K,B\in AB$ nên:

$\widehat{DKB}=90^\circ$

Mặt khác, $D\in AM$ và $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên:

$\widehat{AMB}=90^\circ$

Do đó:

$\widehat{DKB}=\widehat{DMB}=90^\circ$

Suy ra $K,D,M,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $DB$.

Vậy $\boxed{K,D,M,B\text{ cùng thuộc một đường tròn}}$.

Vì $A,M,D$ thẳng hàng nên:

$\widehat{DAB}=\widehat{MAB}$

Vì $A,B,M,N$ cùng thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên:

$\widehat{MAB}=\widehat{MNB}$

Mà $D,B,N$ thẳng hàng nên:

$\widehat{MNB}=\widehat{DNB}$

Suy ra:

$\widehat{DAB}=\widehat{DNB}$

Do đó $ADNB$ là tứ giác nội tiếp.

Mặt khác, $K,D,E$ thẳng hàng và $KD\perp AB$, nên:

$DE\perp AB$

Từ câu a), $K,D,M,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $DB$, suy ra:

$\widehat{DEB}=\widehat{DKB}=90^\circ$

Vì $E,M,B$ thẳng hàng nên:

$\widehat{AEB}=90^\circ$

Do $A,N,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$:

$\widehat{ANB}=90^\circ$

Suy ra:

$\widehat{AEB}=\widehat{ANB}$

Hai góc này cùng chắn đoạn $AB$, nên $A,E,N,B$ cùng thuộc một đường tròn.

Nhưng $A,B,N$ đã thuộc nửa đường tròn ban đầu, nên $E,N,A$ cùng nằm trên đường thẳng qua $A$ và $N$.

Vậy $\boxed{E,N,A\text{ thẳng hàng}}$.