a: Xét tứ giác MNPC có

B là trung điểm chung của MP và NC

=>MNPC là hình bình hành

Hình bình hành MNPC có MP⊥NC

nênMNPClà hình thoi

b: Ta có: MNPC là hình thoi

=>MN//PC và MN=PC

Ta có: M là trung điểm của AB

=>BM=MA=BA/2

M đối xứng P qua B

=>B là trung điêm của MP

=>\(BM=BP=\frac{MP}{2}\)

=>MP/2=BA/2

=>MP=BA

=>AM=MB=BP

Ta có; MP=BA

BA=CD

Do đó: MP=CD

Xét tứ giác MPCD có

MP//CD
MP=CD

Do đó: MPCD là hình bình hành

=>MD//CP và MD=CP

MD//CP

DN//CP

mà MD,DN có điểm chung là D

nên M,D,N thẳng hàng

MD=CP

MN=CP

Do đó: MD=MN

=>M là trung điểm của DN

chưa học bye bye hề hề

a) Có: NB=BC(gt);MB=BP(gt); \(NC\perp MP\)

\(\Rightarrow MNPC\) là hình thoi.

b)Có: \(\Delta_vADM=\Delta_vBCM\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow DM=MC\)

\(\Rightarrow MC\) là đường trung tuyến \(\Delta_VDCN\)\(\Rightarrow DM=MN\Rightarrow N\)đx với D qua M.

a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DM$.

Suy ra:$E$ là trung điểm của $DM$ và $DE\perp AB$.

Tương tự, $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $DN$.

Suy ra: $F$ là trung điểm của $DN$ và $DF\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DE\parallel AC,\quad DF\parallel AB$.

Lại có: $AE\subset AB,\quad AF\subset AC$.

Suy ra: $AE\parallel DF,\quad AF\parallel DE$.

Vậy $AEDF$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\widehat{EAF}=90^\circ$.

Do đó: $\boxed{AEDF \text{ là hình chữ nhật}}$.

b) Chứng minh tứ giác $ADBM$ là hình thoi.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$ nên: $DA=DB=DC$.

Lại có $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên: $AD=AM,\quad BD=BM$.

Suy ra: $AD=DB=BM=MA$.

Vậy: $ADBM$ là hình thoi.

c) Chứng minh $M$ đối xứng với $N$ qua $A$.

Do $M$ là ảnh của $D$ qua $AB$ nên: $AM=AD$.

Do $N$ là ảnh của $D$ qua $AC$ nên: $AN=AD$.

Suy ra: $AM=AN$.

Mặt khác, vì $AB\perp AC$ nên hai phép đối xứng qua $AB$ và $AC$ biến $D$ thành $M$ và $N$ đối xứng nhau qua điểm $A$.

Hay: $A$ là trung điểm của $MN$.

Vậy: $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $A$.

d) Điều kiện để $AEDF$ là hình vuông.

Vì $AEDF$ là hình chữ nhật nên để là hình vuông cần: $AE=AF$.

Mà: $AE=\dfrac{DM}{2},\quad AF=\dfrac{DN}{2}$.

Do đó: $DM=DN$.

Vì $M,N$ lần lượt là ảnh của $D$ qua $AB,AC$ nên:

$DM=2\,d(D,AB),\quad DN=2\,d(D,AC)$.

Suy ra: $d(D,AB)=d(D,AC)$.

Tức là $D$ nằm trên phân giác góc $A$.

Vì $\widehat{A}=90^\circ$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi: $AB=AC$.

Hay tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Vậy: Nếu AB=AC thì AEDF là hình vuông.