A B C D E F M I S

a) Dễ thấy: \(\Delta\)BME vuông cân tại E => BE = ME (1)

Xét tứ giác AEMF: ^FAE = ^AEM = ^AFM = 90⁰ => Tứ giác AEMF là hình chữ nhật => ME = AF (2)

(1); (2) => BE = AF => \(\Delta\)CBE = \(\Delta\)BAF (c.g.c) => CE = BF (đpcm)

Đồng thời: ^BCE= ^ABF. Mà ^ABF + ^CBF = 90⁰

Nên ^BCE + ^CBF = 90⁰ hay ^BCI + ^CBI = 90⁰ => CE vuông góc BF tại I => ^EBF = ^MEC (Cùng phụ ^BEC)

Xét \(\Delta\)BEF và \(\Delta\)EMC có: ^EBF = ^MEC; BE = EM; BF = EC => \(\Delta\)BEF = \(\Delta\)EMC (c.g.c)

=> EF = MC (2 canh tương ứng) (đpcm).

b) Gọi S là trung điểm cạnh BC

Xét \(\Delta\)BIC: Vuông tại I; trung tuyến IS => IS = BC/2 = a/2

=> I luôn cách S 1 khoảng không đổi bằng a/2. Ta có: S là trung điểm cạnh BC nên S cố định => ĐPCM.

c) C/m tương tự câu a: DE vuông góc CF

Do CE vuông góc BF (cmt) nên ^EIF = 90⁰ => ^IFE + ^IEF = 90⁰ hay ^CEF + ^BFE = 90⁰

Mà \(\Delta\)BEF = \(\Delta\)EMC (cmt) => ^BFE = ^ECM (2 góc tương ứng)

Nên ^CEF + ^ECM = 90⁰ => CM vuông góc EF 

Xét \(\Delta\)EFC: DE vuông góc CF; BF vuông góc CE; CM vuông góc EF

=> BF; CM; DE đồng qui (đpcm).

a: ABCD là hình vuông

=>BD là phân giác của góc ABC, DB là phân giác của góc ADC

BD là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot\hat{ABC}=45^0\)

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=45^0\)

Xét tứ giác AEMF có \(\hat{AEM}=\hat{AFM}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

=>AE=MF; AF=ME; AM=FE

Xét ΔMEB vuông tại E có \(\hat{MBE}=45^0\)

nên ΔMBE vuông cân tại E

=>EM=EB

=>EB=AF

Xét ΔDFM vuông tại F có \(\hat{FDM}=45^0\)

nên ΔDFM vuông cân tại F

=>FD=FM

mà FM=AE

nên FD=AE

Xét ΔFDC vuông tại D và ΔEAD vuông tại A có

FD=AE

DC=AD

Do đó: ΔFDC=ΔEAD

=>FC=ED

ΔFDC=ΔEAD

=>\(\hat{DFC}=\hat{AED}\)

mà \(\hat{AED}+\hat{ADE}=90^0\) (ΔADE vuông tại A)

nên \(\hat{DFC}+\hat{ADE}=90^0\)

=>FC⊥DE

b: Ta có: ABCD là hình vuông

=>DB là đường trung trực của AC

=>M nằm trên đường trung trực của AC

=>AM=MC

mà MA=EF

nên MC=EF

Gọi I là giao điểm của DE và CF

MFA = FAE = AEM = 90⁰

=> AEMF là hình chữ nhật

BD là tia phân giác của hình vuông ABCD

=> EBM = 45⁰

mà tam giác EBM vuông tại E

=> Tam giác EBM vuông cân tại E

=> EB = EM

mà EM = AF (AEMF là hình chữ nhật)

=> FA = EB

mà AD = AB (ABCD là hình chữ nhật)

=> AB - EB = AD - FA

=> AE = FD

Xét tam giác EAD và tam giác FDC có:

EA = FD (chứng minh trên)

EAD = FDC (= 90⁰)

AD = DC (ABCD là hình chữ nhật)

=> Tam giác EAD = Tam giác FDC (c.g.c)

=> ADE = DCF (2 góc tương ứng)

mà AED = CDE (2 góc so le trong, AB // CD)

=> ADE + AED = DCF + CDE

mà ADE + AED = 90⁰ (tam giác AED vuông tại A)

=> DCF + CDE = 90⁰

=> Tam giác IDC vuông tại I

=> DE _I_ CF

ôi trời ơi, vừa nói lúc chiều là về tạo tk luôn, chứng tỏ dân chơi thời nay là có thật

Câu hỏi của Kunzy Nguyễn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.