ABCD là hình vuông

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

=>C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O

ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O

Vì \(\hat{AOB}=\hat{AOD}=90^0\)

nên D là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

Vì \(\hat{BOA}=90^0\)

nên A là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được

b. ΔA1B1C1 là ảnh của ΔABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc –90º và phép đối xứng qua trục Ox.

⇒ ΔA1B1C1 là ảnh của ΔA’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox.

⇒ A1 = ĐOx(A’) ⇒ A1(2; -3)

B1 = ĐOx(B’) ⇒ B1(5; -4)

C1 = ĐOx(C’) ⇒ C1(3; -1).

a) + Ta có:

a)

Gọi r = OA, α là góc lượng giác (Ox, OA), β là góc lượng giác (Ox, OA'). Giả sử A'= ( x'; y'). Khi đó ta có:

β = α - , x = r cos α, y = r sin α

Suy ra:

x' = r cos β = r cos ( α - ) = r sinα = y

y' = r sin β = r sin ( α - ) = - r cos α= - x

Do đó phép quay tâm O góc - biến A(-3;2) thành A'(2;3). Các trường hợp khác làm tương tự

b)

Gọi tam giác là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó (2;-3), (5;-4), (3;-1) là đáp số cần tìm.

a) (hình bên)

Gọi r = OA, α là góc lượng giác (Ox, OA), β là góc lượng giác (Ox, OA'). Giả sử A'= ( x'; y'). Khi đó ta có:

β = α - , x = r cos α, y = r sin α

Suy ra

x' = r cos β = r cos ( α - ) = r sinα = y

y' = r sin β = r sin ( α - ) = - r cos α= - x

Do đó phép quay tâm O góc - biến A(-3;2) thành A'(2;3). Các trường hợp khác làm tương tự

b) ( hình 1.26)

Gọi tam giác là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó (2;-3), (5;-4), (3;-1) là đáp số cần tìm

a)
Qua phép đối xứng trục Oy điểm \(M\left(1;1\right)\) biến thành điểm \(M'\left(x;y\right)\) có tọa độ là: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=-x=-1\\y'=y=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(M'\left(-1;1\right)\).
Qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\left(2;0\right)\) điểm M' biến thành điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\) là:\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1+2=1\\y_A=0+1=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(A\left(1;1\right)\equiv M\) là điểm cần tìm.
b) Gọi C là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\)
là: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2+1=3\\y_C=0+1=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(C\left(3;1\right)\)
\(M''=Đ_{Oy}\left(C\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}x_{M''}=-x_C=-3\\y_{M''}=y_C=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(M''\left(-3;1\right)\).

a:Tọa độ A' là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=-2\\ y_{A^{\prime}}=x_{A}=1\end{cases}\)

=>A'(-2;1)

Tọa độ A'' là ảnh của A' qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\) là:

\(\begin{cases}x=\left(-2\right)+\left(-3\right)=-5\\ y=1+1=2\end{cases}\)

=>A''(-5;2)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 2x-3y+1=0 qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+2y+c=0

Lấy B(1;1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=-y_{B}=-1\\ y_{B^{\prime}}=x_{B}=1\end{cases}\)

THay x=-1 và y=1 vào (d1), ta được:

3*(-1)+2*1+c=0

=>-3+2+c=0

=>c-1=0

=>c=1

=>(d1): 3x+2y+1=0

Gọi (d2): ax+by+c=0 là ảnh của (d1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>(d2)//(d1)

=>(d2): 3x+2y+c=0

Tọa độ B'' là ảnh của B'(-1;1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\) là:

\(\begin{cases}x=\left(-1\right)+\left(-3\right)=-4\\ y=1+1=2\end{cases}\)

THay x=-4 và y=2 vào (d2), ta được:

3*(-4)+2*2+c=0

=>c-12+4=0

=>c-8=0

=>c=8

=>(d2): 3x+2y+8=0

b: Gọi B(x;y) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>A(1;2) là ảnh của B(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

Do đó, ta có: \(\begin{cases}x+\left(-3\right)=1\\ y+1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=4\\ y=1\end{cases}\)

=>B(4;1)

B(4;1) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x_{B}=y_{M}\\ y_{B}=-x_{M}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{M}=x_{B}=4\\ x_{M}=-y_{B}=-1\end{cases}\)

=>M(4;-1)

Giả sử M 1   =   D I ( M ) và M ′   =   Q O ;   − 90 ο ( M 1 ) . Ta có

Thế (x;y) theo (x′;y′) vào phương trình d ta có:

3(y′ − 2) − (4 − x′) – 3 = 0 ⇔ x′ + 3y′ − 13 = 0

Vậy phương trình d’ là x + 3y – 13 = 0.

a) M(-1;1) đối xứng qua trục Oy ta được N(-1;1).

Gọi M'(x;y) là ảnh của N(-1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ  v   → =   ( 2 ; 0 )

b) Gọi P(x;y) là ảnh của M(1;1) qua phép tịnh tiến theo  v   → =   ( 2 ; 0 )

P(3;1) đối xứng qua trục Oy ta được M"(-3;1)