Xét tứ giác AMCP có:

AM//CP(ABCD là hình vuông và AM€AB, CP€DC)

AM=CP (ABCD là hình vuông và AM=\(\dfrac{BC}{2}\), CP=\(\dfrac{CD}{2}\))

=>AMCP là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết bình hành)

=>AP//MC (định lí về hình bình hành).

Xét ΔAPD và ΔDNC có:

\(\widehat{D}=\widehat{C}=90°\)

AD=CD (GT)

DP=DC(ABCD là hình vuông và DP=\(\dfrac{CD}{2}\), CN=\(\dfrac{CB}{2}\))

Do đó ΔADP=ΔDNC (c-g-c)

=>\(\widehat{DAP}=\widehat{CDN}\) (2 góc tương ứng)

Xét ΔCDG có:

DP=CP (GT)

HP//CG (AP//MC theo CMT và HP€AP, CG€MC)

=>HD=HG (định lí về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔDPH có:

\(\widehat{PDH}+\widehat{DPH}\)=90° (\(\widehat{CDN}=\widehat{DAP}\) theo CMT)

=>\(\widehat{DHP}=90°\)

Ta có:\(\widehat{DHP}=\widehat{GHA}=90°\)(đối đỉnh)

\(\widehat{GHA}+\widehat{DHA}=180°\)(2 góc kề bù)

\(\widehat{AHD}=180°-\widehat{AHG}\)

\(\widehat{DHA}=180°-90°=90°\)

Xét ΔADH và ΔAGH có:

(tự làm)

Sửa đề: K là giao điểm của DM và BQ

Gọi O là trung điểm của BD

Xét ΔCBD có

BN,DP là các đường trung tuyến

BN cắt DP tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔCBD

Xét ΔCBD có

G là trọng tâm

O là trung điểm của BD

Do đó: C,G,O thẳng hàng

=>CG cắt BD tại O(1)

Xét ΔABD có

DM,BQ là các đường trung tuyến

DM cắt BQ tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔABD

Xét ΔABD có

K là trọng tâm

O là trung điểm của BD

Do đó: AK cắt BD tại O(2)

Từ (1),(2) suy ra AK,CG,BD đồng quy tại O

a: Ta có: \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)

\(DP=PC=\frac{DC}{2}\)

\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

mà AD=DC=BC

nên AM=MD=DP=PC=BN=NC

Xét tứ giác BNDM có

BN//DM

BN=DM

Do đó: BNDM là hình bình hành

b: Xét ΔADP vuông tại D và ΔDCN vuông tại C có

AD=DC

DP=CN

Do đó: ΔADP=ΔDCN

=>\(\hat{APD}=\hat{DNC}\)

mà \(\hat{DNC}+\hat{CDN}=90^0\) (ΔCDN vuông tại C)

nên \(\hat{APD}+\hat{CDN}=90^0\)

=>AP⊥DN tại K

c: BMDN là hình bình hành

=>BM//DN

=>BM//NK

Gọi I là giao điểm của BM và AP

Xét ΔADK có

M là trung điểm của AD

MI//DK

Do đó: I là trung điểm của AK

BM//DN

DN⊥AP

Do đó: BM⊥AP tại I

Xét tứ giác ABNM có

AM//BN

AM=BN

Do đó: ABNM là hình bình hành

=>AB=MN

Xét ΔBIA vuông tại I và ΔBIK vuông tại I có

BI chung

IA=IK

Do đó: ΔBIA=ΔBIK

=>BA=BK

mà BA=MN

nên BK=MN

Xét hình thang BMKN có BK=MN

nên BMKN là hình thang cân