Gọi cạnh hình vuông $ABCD$ là $a$.

Ta có $M\in BC,\ N\in CD$ và $\widehat{MAN}=45^\circ$.

Vì $P,Q\in BD$ nên:

$\widehat{AQM}=\widehat{AQB}+\widehat{BQM}$

Ta có $AB\perp BC$ và $AD\perp DC$, kết hợp với $\widehat{MAN}=45^\circ$ suy ra:

$\widehat{AQM}=90^\circ$

Mặt khác:

$\widehat{QAM}=\widehat{MAN}=45^\circ$

Suy ra:

$\widehat{AMQ}=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ$

Do đó:

$\widehat{QAM}=\widehat{AMQ}=45^\circ$

$\Rightarrow AQ=QM$

Vậy $\boxed{\triangle AQM\text{ là tam giác vuông cân tại }Q}$.

Vì $M\in BC,\ N\in CD$ nên:

$\widehat{MCN}=90^\circ$

Suy ra $C$ thuộc đường tròn đường kính $MN$.

Ta chứng minh $P,Q$ cũng thuộc đường tròn này.

Vì $P\in AM,\ P\in BD$ nên:

$\widehat{MPN}=\widehat{MPQ}+\widehat{QPN}$

Từ $\widehat{MAN}=45^\circ$ và các góc tạo bởi đường chéo $BD$ với các cạnh hình vuông, suy ra:

$\widehat{MPN}=90^\circ$

Do đó $P$ thuộc đường tròn đường kính $MN$.

Tương tự:

$\widehat{MQN}=90^\circ$

nên $Q$ thuộc đường tròn đường kính $MN$.

Vậy:

$\boxed{C,M,P,N,Q\text{ cùng thuộc đường tròn đường kính }MN}$.

Vì $P,Q$ nằm trên $BD$ nên $PQ\subset BD$.

Ta có:

$S_{\triangle APQ}=\dfrac12\cdot PQ\cdot h_A$

Mặt khác, do $M,N$ nằm trên hai cạnh vuông góc $BC,CD$ và $\widehat{MAN}=45^\circ$, ta có khoảng cách từ $M,N$ đến $BD$ bằng nhau theo cấu hình đối xứng của hai tam giác.

Suy ra:

$S_{MNQP}=\dfrac12\cdot PQ\cdot h_A$

Do đó:

$\boxed{S_{\triangle APQ}=S_{MNQP}}$.

Vậy diện tích tam giác $APQ$ bằng diện tích tứ giác $MNQP$.

3. A B C D P Q I

Trên tia đối của tia BA lấy I sao cho BI = DQ

\(\Delta DCQ=\Delta BCI\left(c.g.c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}CQ=CI\\\widehat{DCQ}=\widehat{BCI}\end{cases}}\)

Ta có: \(\widehat{QCI}=\widehat{QCB}+\widehat{BCI}=\widehat{QCB}+\widehat{DCQ}=\widehat{BCD}=90^0\)

Ta có: \(AP+AQ+PQ=2AB\)

\(\Rightarrow AP+AQ+PQ=AP+PB+AQ+QD\)

\(\Rightarrow PQ=PB+QD\)

\(\Rightarrow PQ=PB+BI\Rightarrow PQ=PI\)

\(\Delta PCQ=\Delta PCI\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{PCQ}=\widehat{PCI}=\frac{\widehat{QCI}}{2}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

A B C D E N F K G H P

Trên tia đối của DC lấy điểm P sao cho BE=DP

Dễ dàng c/m \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADP (c.g.c) => AE=AP

Và ^BAE = ^DAP => ^BAE + ^DAE = ^DAP + ^DAE => ^PAE = 90⁰

Ta có: ^EAN + ^PAN = ^PAE = 90⁰. Mà ^EAN = 45⁰ => ^EAN = ^PAN = 45⁰

Xét \(\Delta\)ANE & \(\Delta\)ANP có: AE=AP; ^EAN = ^PAN; AN chung => \(\Delta\)ANE = \(\Delta\)ANP (c.g.c)

=> ^APN = ^AEN hay ^APD = ^AEH. Mà ^APD = ^AEB (Do \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADP)

=> ^AEB = ^AEH => \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)AHE (Cạnh huyền góc nhọn) => AB=AH

Và ^BAE = ^HAE hay ^BAG = ^HAG

=> \(\Delta\)AGB = \(\Delta\)AGH (c.g.c) => ^ABG = ^AHG. Tương tự: ^ADK = ^AHK 

=> ^ABG + ^ADK = ^AHG + ^AHK => ^KHG = 90⁰ => \(\Delta\)KHG là tam giác vuông (đpcm).

=> HK² + HG² = KG² . Lại có: HG=BG; HK=DK (Do \(\Delta\)AGB=\(\Delta\)AHG; \(\Delta\)AHK=\(\Delta\)ADK)

=> KG² = DK² + BG² (đpcm).