Sửa đề: Gọi E là điểm nằm giữa C và D

a: Xét ΔADF vuông tại D và ΔAHF vuông tại H có

AF chung

\(\hat{DAF}=\hat{HAF}\)

Do đó: ΔADF=ΔAHF

=>AD=AH

b: Ta có: AD=AH

AD=AB

Do đó: AH=AB

Xét ΔAHG vuông tại H và ΔABG vuông tại B có

AG chung

AH=AB

Do đó: ΔAHG=ΔABG

=>\(\hat{HAG}=\hat{BAG}\)

=>AG là phân giác của góc BAE

c: AG là phân giác của góc BAE

=>\(\hat{BAE}=2\cdot\hat{EAG}\)

AF là phân giác của góc DAE

=>\(\hat{DAE}=2\cdot\hat{FAE}\)

Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{DAE}=\hat{BAD}\) (tia AE nằm giữa hai tia AB và AD)

=>\(2\left(\hat{EAG}+\hat{EAF}\right)=90^0\)

=>\(2\cdot\hat{FAG}=90^0\)

=>\(\hat{FAG}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

giúp mink với

Câu hỏi của Hồ Phong Thư - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Gọi $AB\parallel CD$ và $AB<CD$.

Vì $AB\parallel CD$ nên:

$\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ$

Do $AE,DE$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat A,\widehat D$:

$\widehat{EAD}=\frac{\widehat A}{2}$

$\widehat{ADE}=\frac{\widehat D}{2}$

Trong $\triangle AED$:

$\widehat{AED}+\frac{\widehat A}{2}+\frac{\widehat D}{2}=180^\circ$

$\widehat{AED}+90^\circ=180^\circ$

$\widehat{AED}=90^\circ$

Vì $AB\parallel CD$ nên:

$\widehat B+\widehat C=180^\circ$

Do $BF,CF$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat B,\widehat C$:

$\widehat{FBC}=\frac{\widehat B}{2}$

$\widehat{BCF}=\frac{\widehat C}{2}$

Trong $\triangle BFC$:

$\widehat{BFC}+\frac{\widehat B}{2}+\frac{\widehat C}{2}=180^\circ$

$\widehat{BFC}+90^\circ=180^\circ$

$\widehat{BFC}=90^\circ$

Gọi $P=AE\cap BF$ và $P\in CD$.

Đặt:

$AD=d,\quad BC=b,\quad CD=c$

Vì $AP$ là tia phân giác $\widehat A$ và $P\in CD$ nên từ tính chất tia phân giác trong cấu hình hình thang, ta có:

$PD=AD=d$

Tương tự, vì $BP$ là tia phân giác $\widehat B$:

$PC=BC=b$

Mà:

$CD=PD+PC$

$CD=AD+BC$

Vậy:

$AD+BC=CD$

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.

Ta có:

$\widehat{EAD}=\frac{\widehat A}{2}$

$\widehat{ADE}=\frac{\widehat D}{2}$

Mà:

$\widehat A+\widehat D=180^\circ$

Suy ra:

$\widehat{EAD}+\widehat{ADE}=90^\circ$

Do đó:

$\widehat{AED}=90^\circ$

Đồng thời, do $AB\parallel CD$, hai tia phân giác tại $A,D$ đối xứng theo phương song song với hai đáy, nên $E$ có khoảng cách đến $AB$ và $CD$ bằng nhau.

Suy ra $E$ nằm trên đường thẳng qua trung điểm của hai cạnh bên, tức đường trung bình của hình thang.

Tương tự, $F$ cũng nằm trên đường trung bình.

Vậy: $E,F$ cùng nằm trên đường trung bình của hình thang $ABCD$.

## Bài 1:

**a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân.**

* **Tam giác AMQ:**
    * Ta có: $\widehat{MAQ} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
    * $\widehat{AMQ} = \widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$)
    * Mà $\widehat{ABM} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
    * Nên $\widehat{AMQ} = 45^\circ$
    * Vậy tam giác AMQ vuông cân tại A.

* **Tam giác ANP:**
    * Ta có: $\widehat{NAP} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
    * $\widehat{ANP} = \widehat{ADN}$ (cùng phụ với $\widehat{AND}$)
    * Mà $\widehat{ADN} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
    * Nên $\widehat{ANP} = 45^\circ$
    * Vậy tam giác ANP vuông cân tại A.

**b) Gọi giao điểm của QM và NP là R. Gọi I, K là trung điểm của đoạn thẳng MQ, PN. Chứng minh rằng AIKR là hình chữ nhật**

* **Chứng minh AIKR là hình bình hành:**
    * Ta có: I là trung điểm của MQ, K là trung điểm của PN.
    * Nên IK là đường trung bình của hình thang MNPQ.
    * Do đó IK // MN // PQ.
    * Mà AI // KR (do AI là đường trung bình của tam giác AMQ, KR là đường trung bình của tam giác ANP)
    * Vậy AIKR là hình bình hành.

* **Chứng minh AIKR là hình chữ nhật:**
    * Ta có: $\widehat{IAK} = 90^\circ$ (do AI // KR và $\widehat{IAK}$ là góc vuông)
    * Vậy AIKR là hình chữ nhật.

**c) Chứng minh rằng bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng**

* **Chứng minh KB // ID:**
    * Ta có: KB là đường trung bình của tam giác BCP, ID là đường trung bình của tam giác DQN.
    * Nên KB // CP // DQ // ID.
    * Vậy KB // ID.

* **Chứng minh KB = ID:**
    * Ta có: KB = 1/2 CP, ID = 1/2 DQ.
    * Mà CP = DQ (do ABCD là hình vuông)
    * Nên KB = ID.

* **Kết luận:**
    * Do KB // ID và KB = ID nên KBID là hình bình hành.
    * Mà $\widehat{KBI} = 90^\circ$ (do KB // CP và $\widehat{KBI}$ là góc vuông)
    * Vậy KBID là hình chữ nhật.
    * Do đó bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng.

## Bài 2:

**a) Chứng minh rằng BF = CE; BF ⊥ CE**

* **Chứng minh BF = CE:**
    * Ta có: ABDE và ACGF là hình vuông.
    * Nên AB = AE, AC = AF.
    * Do đó BF = BC + CF = AB + AC = AE + AF = CE.

* **Chứng minh BF ⊥ CE:**
    * Ta có: $\widehat{ABF} = 90^\circ$ (do ABDE là hình vuông)
    * $\widehat{ACE} = 90^\circ$ (do ACGF là hình vuông)
    * Nên $\widehat{ABF} + \widehat{ACE} = 180^\circ$.
    * Do đó BF ⊥ CE.

**b) Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân**

* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác vuông:**
    * Ta có: O1 là tâm hình vuông ABDE, O2 là tâm hình vuông ACGF.
    * Nên O1O2 là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
    * Do đó MO1 = MO2.
    * Mà $\widehat{MO1O2} = 90^\circ$ (do O1O2 là đường trung trực của BC)
    * Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác vuông tại O.

* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác cân:**
    * Ta có: MO1 = MO2 (chứng minh trên)
    * Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác cân tại M.

* **Kết luận:**
    * Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân tại O.