Hình bạn tự vẽ nha.

a, ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AB=BC=CD=AD\)

Ta có: \(\hat{IAD}+\hat{DAE}=90^o\)

\(\hat{BAE}+\hat{DAE}=90^o\)

\(\Rightarrow \hat{IAD} =\hat{BAE}\)

Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta ABE\) có:

\(\hat{ADI}=\hat{ABE}=90^o\)

\(AD=AB\left(cmt\right)\)

\(\hat{IAD}=\hat{BAE}(cmt)\)

\(\Rightarrow\Delta ADI=\Delta ABE\left(g-c-g\right)\Rightarrow AI=AE\)

b, \(\Delta AIK\) có: \(\hat{IAK}=90^o\), \(AD\perp IK\)

\(\Rightarrow AD.IK=AI.AK\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà \(AI=AE\left(cmt\right)\Rightarrow AD.IK=AE.AK\)

c, \(\Delta AIK\) có: \(\hat{IAK}=90^o\), \(AD\perp IK\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà \(AI=AE\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) mà hình vuông ABCD không đổi \(\Rightarrow\) AD không đổi\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) không đổi

Vậy \(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) không đổi khi E thay đổi trên cạnh BC

Hai câu cuối í ẹ chưa nghĩ ra, để sau.

Thanks

a, HS tự chứng minh

b, HS tự chứng minh

c, Tứ giác ACFK nội tiếp (I) với I là trung điểm của KF => BD là trung trực AC phải đi qua I

d, HS tự chứng minh

a: Ta có: \(\hat{DAK}+\hat{DAF}=\hat{FAK}=90^0\)

\(\hat{DAF}+\hat{BAF}=\hat{DAB}=90^0\)

Do đó: \(\hat{DAK}=\hat{BAF}\)

Xét ΔDAK vuông tại D và ΔBAF vuông tại B có

DA=BA

\(\hat{DAK}=\hat{BAF}\)

DO đó: ΔDAK=ΔBAF
=>AK=AF

Xét ΔAEK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AD^2}\)

=>\(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{a^2}\) không đổi

1/AK² hay 4/AK² vậy cậu

a: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{EAD}=\hat{BAD}=90^0\)

\(\hat{FAD}+\hat{DAE}=\hat{FAE}=90^0\)

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{FAD}\)

Xét ΔBAE và ΔDAF có

BA=DA

\(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

AE=AF

Do đó: ΔBAE=ΔDAF

=>\(\hat{ABE}=\hat{ADF}\)

=>\(\hat{ADF}=90^0\)

=>AD⊥ DF

mà AD⊥ DC tại D

và DF,DC có điểm chung là D

nên F,D,C thẳng hàng

b: Xét ΔAFG vuông tại A có AD là đường cao

nên \(\frac{1}{AF^2}+\frac{1}{AG^2}=\frac{1}{AD^2}\)

=>\(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AG^2}=\frac{1}{AD^2}\)

A B C D K E F

a/ Ta có : góc KAD = góc EAB vì cùng phụ với góc DAE ; AD = AB

=> tam giác DAK = tam giác ABE (cgv.gnk)

=> AK = AE => tam giác AKE là tam giác cân

b/ Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông :  \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\) không đổi

chỉnh lại câu 1 tí:

1)
    + Xét tứ giác AEFD :  ADF +AEF = 90 +90 = 180
    Suy ra: Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn 
    Suy ra:  EAF = EDF hay EAF = EDC
    + Xét tgAEF và tg EDC :  AEF = ECD = 90 VÀ EAF = EDC
    Suy ra: tgAEF ~  tgDCE =>  .AE /AF = CD/DE

2.

Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn 
=>  EAF = EDF mặt khác  EAF = EDC mặt khác  : EAF + HAG = 90 VÀ EDC + HEG =90
suy ra: HAG = HEG  suy ra tứ giác AEGH nội tiếp được đường tròn =>  HGE = 90 
Vì HGE = HAE = 90 ,suy ra đường tròn này có tâm O là trung điểm của AE.

3.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE chính là đường tròn (O).
    + Xét tam giác HGE :   và OH = OE = 1/2. HE => OH = OE = OG.
    + Xét tg OEK và tg OGK : 
OE = OG ; OK chung ;EK = GK( Vì K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EG)
Suy ra  tgOEK =tg OGK (c – c – c) =>  KGO = KEO = 90 độ
Suy ra: KG vuông góc với OG, vậy KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HAE.(đpcm).