Ta có; \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

\(CP=PD=\frac{CD}{2}\)

\(DQ=QA=\frac{DA}{2}\)

mà AB=BC=CD=DA

nên AM=MB=BN=NC=CP=PD=DQ=QA

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔDAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>PQ là đường trung bình của ΔDAC

=>PQ//AC và \(PQ=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

MN//AC

PQ//AC

Do đó: MN//PQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(PQ=\frac{AC}{2}\)

Do đó: MN=PQ

MN//AC

AC⊥BD

Do đó: MN⊥BD

MN⊥BD

MQ//BD

Do đó: MN⊥MQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(MQ=\frac{BD}{2}\)

mà AC=BD

nên MN=MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó; MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MN=MQ

nên MNPQ là hình thoi

Hình thoi MNPQ có MN⊥MQ

nên MNPQ là hình vuông

=>MP=QN

Xét tứ giác ABNQ có

BN//AQ
BN=QA

Do đó: ABNQ là hình bình hành

=>AB=NQ

=>NQ=8(cm)

=>MP=QN=8(cm)

Xét ΔMQN có

S,T lần lượt là trung điểm của MQ,MN

=>ST là đường trung bình của ΔMQN

=>ST//QN và \(ST=\frac{QN}{2}\)

Xét ΔPQN có

R,K lần lượt là trung điểm của PQ,PN

=>RK là đường trung bình của ΔPQN

=>RK//QN và \(RK=\frac{QN}{2}\)

Xét ΔQMP có

S,R lần lượt là trung điểm của QM,QP

=>SR là đường trung bình của ΔQMP

=>SR//MP và \(SR=\frac{MP}{2}\)

ST//QN

RK//QN

Do đó: ST//RK

\(ST=\frac{QN}{2}\)

\(RK=\frac{QN}{2}\)

Do đó: ST=RK

SR//MP

MP⊥QN

Do đó: SR⊥QN

SR⊥QN

ST//QN

Do đó: ST⊥SR

\(SR=\frac{MP}{2}\)

\(ST=\frac{QN}{2}\)

mà MP=QN

nên SR=ST

Xét tứ giác STKR có

ST//KR

ST=KR

Do đó; STKR là hình bình hành

Hình bình hành STKR có ST=SR

nên STKR là hình thoi

Hình thoi STKR có ST⊥SR

nên STKR là hình vuông

=>\(S_{STKR}=ST^2=\left(\frac{QN}{2}\right)^2=\left(\frac82\right)^2=4^2=16\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có; \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

\(CP=PD=\frac{CD}{2}\)

\(DQ=QA=\frac{DA}{2}\)

mà AB=BC=CD=DA

nên AM=MB=BN=NC=CP=PD=DQ=QA

Xét ΔMAQ vuông tạiA có AM=AQ

nên ΔAMQ vuông cân tại A

=>\(\hat{AMQ}=\hat{AQM}=45^0\)

Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔMBN vuông tại B có

MA=MB

AQ=BN

Do đó: ΔMAQ=ΔMBN

=>MQ=MN

ΔMAQ=ΔMBN

=>\(\hat{AMQ}=\hat{BMN}=45^0\)

Ta có: \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}+\hat{QMN}=180^0\)

=>\(\hat{QMN}=180^0-45^0-45^0=90^0\)

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

MB=NC

BN=CP

Do đó: ΔMBN=ΔNCP

=>MN=NP

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔQDP vuông tại D có

NC=QD

CP=DP

Do đó: ΔNCP=ΔQDP

=>NP=QP

=>MN=NP=PQ=MQ

=>MNPQ là hình thoi

Hình thoi MNPQ có \(\hat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình vuông

Xét tứ giác AMPD có

AM//PD

AM=PD

Do đó: AMPD là hình bình hành

=>MP=AD=8cm

=>MP=NQ=8cm

TA có: \(MS=SQ=\frac{MQ}{2}\)

\(MT=TN=\frac{MN}{2}\)

\(NK=KP=\frac{NP}{2}\)

\(QR=RP=\frac{QP}{2}\)

mà MQ=MN=NP=QP

nên MS=SQ=MT=TN=NK=KP=QR=RP

Xét ΔMQN có

S,T lần lượt là trung điểm của MQ,MN

=>ST là đường trung bình của ΔMQN

=>ST//QN và \(ST=\frac{QN}{2}\)

Xét ΔPMN có

R,K lần lượt là trung điểm của PQ,PN

=>RK là đường trung bình của ΔPMN

=>RK//QN và \(RK=\frac{QN}{2}\)

Xét ΔQMP có

S,R lần lượt là trung điểm của QM,QP

=>SR là đường trung bình của ΔQMP

=>SR//MP và \(SR=\frac{MP}{2}\)

MNPQ là hình vuông

=>MP⊥NQ

Ta có: ST//QN

RK//QN

Do đó: ST//RK

Ta có; \(ST=\frac{QN}{2}\)

\(RK=\frac{QN}{2}\)

Do đó: ST=RK

Ta có: \(ST=\frac{QN}{2}\)

\(SR=\frac{MP}{2}\)

mà QN=MP

nên ST=SR

Ta có: ST//QN

QN⊥MP

Do đó: ST⊥MP

ST⊥MP

MP//SR

Do đó: ST⊥SR

Xét tứ giác STKR có

ST//KR

ST=KR

Do đó: STKR là hình bình hành

Hình bình hành STKR có ST=SR

nên STKR là hình thoi

Hình thoi STKR có SK⊥RT

nên STKR là hình vuông

=>\(S_{STKR}=ST^2=\left(\frac{QN}{2}\right)^2=\left(\frac82\right)^2=16\left(\operatorname{cm}^2\right)\)