Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ABCD là hình vuông
=>CA là phân giác của góc BCD
=>\(\hat{BCA}=\hat{DCA}=\frac12\cdot\hat{BCD}=45^0\)
Xét tứ giác BENC có \(\hat{EBN}=\hat{ECN}\left(=45^0\right)\)
nên BENC là tứ giác nội tiếp
ABCD là hình vuông
=>AC là phân giác của góc BAD
=>\(\hat{BAC}=\hat{DAC}=\frac12\cdot\hat{BAD}=45^0\)
Xét tứ giác BFMA có \(\hat{MAF}=\hat{MBF}\left(=45^0\right)\)
nên BFMA là tứ giác nội tiếp
a.
DO ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{ACD}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{EBN}\)
Mà \(\widehat{ACD}\) và \(\widehat{EBN}\) cùng chắn EN
\(\Rightarrow\) Tứ giác BENC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BEN}+\widehat{BCN}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BEN}=180^0-\widehat{BCN}=180^0-90^0=90^0\)
\(\Rightarrow NE\perp BM\) tại E
b.
Tương tự ta có tứ giác ABFM nội tiếp (\(\widehat{MAF}=\widehat{MBF}=45^0\) cùng chắn MF)
\(\Rightarrow\widehat{BFM}+\widehat{BAM}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BFM}=90^0\Rightarrow MF\perp BN\)
\(\Rightarrow I\) là trực tâm của tam giác BMN
\(\Rightarrow BI\perp MN\)
c.
Gọi H là giao điểm BI và MN
Do E và F cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow\) Tứ giác EFMN nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{EMN}+\widehat{EFN}=180^0\)
Mà \(\widehat{EFN}+\widehat{EFB}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{EFB}\)
Lại có tứ giác ABFM nội tiếp (A và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{EFB}=\widehat{AMB}\) (cùng chắn AB)
\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{AMB}\)
\(\Rightarrow\Delta_VAMB=\Delta_VHMB\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow AM=HM\)
Đồng thời suy ra \(AB=BH\Rightarrow BH=BC\) (do AB=BC)
Theo Pitago: \(\left\{{}\begin{matrix}HN=\sqrt{BN^2-BH^2}\\CN=\sqrt{BN^2-BC^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CN=HN\)
\(\Rightarrow AM+CN=MH+NH=MN\)
\(\Rightarrow MD+DN+MN=MD+DN+AM+CN=AD+CD=2a\)
Pitago: \(MN^2=DM^2+DN^2\ge\dfrac{1}{2}\left(DM+DN\right)^2\Rightarrow MN\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)
\(\Rightarrow2a-\left(DM+DN\right)\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)
\(\Rightarrow2a\ge\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\left(DM+DN\right)\ge\left(2+\sqrt{2}\right).\sqrt{DM.DN}\)
\(\Rightarrow DM.DN\le\left(6-4\sqrt{2}\right)a^2\)
\(\Rightarrow S_{MDN}=\dfrac{1}{2}DM.DN\le\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(DM=DN=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)a\)
$M\in AC$ thì $BM$ cắt $AC$ tại $M$ luôn rồi bạn chứ sao là điểm E được?
Bạn xem lại đề.
A B C D M N E F I
Vì: FBM=FAM=45 độ nên BFMA là tứ giác nội tiếp
tương tự có đpcm
b, ta có:
MFN=DAB=90
NEM=BCD=90
=> nội tiếp
c, theo câu b ta có:
MNB=BEC=BNC nên: NB là phân giác góc INC
thấy ngay H là trực tâm tam giác BMN nên: BI vuông góc MN
do đó áp dụng tính chất đường phân giác ta được BI=BC=a.
Chứng minh góc EBN = góc ECN = 450
=> Tứ giác BENC nội tiếp (đpcm)
a) Vì ABCD là hình vuông
=> AC là đường phân giác của góc BCD và góc BAD
=> góc ECN = góc ECB = 1/2 góc BCD
mà góc BCD = 90 độ(ABCD là hình vuông)
=> góc ECN = 1/2 . 90 độ= 45 độ
mà góc EBN = 45 độ
=> góc ECN = góc EBN
mà hai góc này cùng chắn cung EN
=> tứ giác BENC nội tiếp đường tròn
vì AC là đường phân giác góc BAD
=> góc FAM = góc FAB = 1/2 góc BCD
mà góc BAD = 90 độ(ABCD là hình vuông)
=> góc FAM = 1/2 . 90 độ= 45 độ
mà góc FBM = 45 độ
=> góc FAM = góc FBM
mà hai góc này cùng chắn cung FM
=> tứ giác BFMA nội tiếp đường tròn
b) vì tứ giác BENC nội tiếp đường tròn
=> góc BEN + góc BCD = 180 độ
mà BDC bằng 90 độ
=> góc BEN = 90độ
mà MEN + BEN = 180 độ ( 2 góc kề bù)
=> MEN = 90độ (1)
mặt khác vì tứ giác BFMA nội tiếp đường tròn
=> góc BFM + góc BAD = 180 độ
mà BAD bằng 90 độ
=> góc BFM = 90độ
mà MFN + BFM = 180 độ ( 2 góc kề bù)
=> MFN = 90độ (2)
từ (1)(2)=> MEN = MFN
mà 2 góc này cùng chắn một cung MN
=> tứ giác MEFN là tứ giác nội tiếp.
c) vì MF vuông góc với BN ( MFN = 90độ)
NE vuông góc với BM ( MEN = 90độ)
mà H là giao điểm của MF và NE
=> H là trực tâm của tam giác BMN
=>BH vuông góc với MN
mà theo bài ra BH cắt MN tại I
do đó BI vuong góc với MN
vì tứ giác MEFN nội tiếp đường tròn
=> MNF = BEF (1)
mặt khác ta có BEF + EBF + BFE =180 độ ( tính chất tổng ba góc trong tam giác )
NFC + NCE + CNF = 180 độ ( tính chất tổng ba góc trong tam giác )
mà EBF = ECN = 45 độ
BFE = NFC ( 2 góc đối đỉnh)
=>BEF = CNF (2)
từ (1)(2)=> MNF = CNF
xét tam giác BIN và tam giác BCN có
MNF = CNF(cmt)
BIN = BCN = 90 độ ( BI vuông góc với MN , ABCD là hình vuông )
BN cạnh chung
=> tam giác BIN = tam giác BCN( ch-gn)
=> BI = BC = a
BACDEFMCNHI
c) Chứng minh ΔBIM = ΔBAM, từ đó BI = BA = a.
BACDEFMCNHI
c) Chứng minh ΔBIM = ΔBAM, từ đó BI = BA = a.
BACDEFMCNHI
c) Chứng minh ΔBIM = ΔBAM, từ đó BI = BA = a.
A B C D M N E F H I a 1 1
a) \(\Delta ADC\) vuông cân => \(\widehat{C_1}=\widehat{A_1}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{MBN}=45^0\) mà \(\widehat{C_1},\widehat{MBN}\) cùng nhìn cạnh EN => BENC là tứ giác nội tiếp \(\widehat{A_1}=\widehat{MBN}=45^0\) mà \(\widehat{A_1},\widehat{MBN}\) cùng nhìn cạnh FM => BFMA là tứ giác nội tiếp
b) BENC là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{BFM}+\widehat{A}=180^0\) mà \(\widehat{A}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BFM}=90^0\Rightarrow MF\perp BN\) tại F (1)
BFMA là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{BEN}+\widehat{C}=180^0\) mà \(\widehat{C}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BEN}=90^0\Rightarrow BM\perp EN\) tại E (2)
Từ (1) (2) => \(\widehat{MEN}=\widehat{MFN}=90^0\)
mà \(\widehat{MEN},\widehat{MFN}\) cùng nhìn MN
=> MEFN là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
c) \(\widehat{BEN}=\widehat{BFM}=90^0\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{BEN}+\widehat{BFM}=180^0\)
=> BEHF là tứ giác nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{MBI}=\widehat{EFM}\) (cùng nhìn cạnh EH) (3)
BFMA là tứ giác nội tiếp (theo câu a) => \(\widehat{ABM}=\widehat{AFM}\) (cùng nhìn cạnh AM)hay \(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}\) (4)
Từ (3) (4) => \(\widehat{ABM}=\widehat{MBI}\)
\(\Delta MNB\) có: \(MF\perp BN\) tại F (theo 1) \(NE\perp MB\) tại E ( theo 2)
mà H là giao của MF và NE
=> H là trực tâm của tam giác MNB \(\Rightarrow BH\perp MN\) tại I hay \(BI\perp MN\) tại I
\(\Delta BAM\) và \(\Delta BIM\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{BIM}=90^0\left(cmt\right)\)
BM chung
\(\widehat{ABM}=\widehat{MBI}\)
=> \(\Delta BAM=\Delta BIM\) (ch-gn)
\(\Rightarrow BI=BA=a\)
a)Theo gt ABCD là hình vuông =>gócABC=gócBCD=gócCDA=gócDAB=90độ
-Xét tứ giác BMNC , ta có:
Góc BCN =90độ
=>gócBCN+gócBMN=180độ (định lí )
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=>Tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn
Theo hình vẽ ta có MF vuông góc BN =>BGM=90 độ
Còn có góc BAD =90 độ (ABCD là hình vuông)
=>góc BGM+góc BAD= 180 độ (định lí)
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau => Tứ giác BFMA nội tiếp đường tròn (dhnb)
b)Vì -NE là đường cao của tam giácBMN=>NE vuông góc BM tại E => góc NEM = 90độ
-MF là đường cao của Tam giác BMN =>MF vuông góc BN=> Góc MFN =90 độ
Xét tứ giác MEFN, ta có:
Góc MFN và gócNEM là hai góc nội tiếp cùng nhìn đoạn thẳng MN dưới một góc 90độ (quỹ tích cung chứa góc 90 độ)
=> Tứ giác MEFN nội tiếp đường tròn (đpcm)