Nối KA, KB, KC (hình 65b).

Vì KD là đường trung trực của AB nên:

KA = KB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: ΔKAB cân tại K

Do đó KD là đường phân giác của ∠(AKB)

Suy ra: ∠K1 = ∠K3 ⇒ ∠(AKB) = 2 ∠K1 (1)

Vì KE là đường trung trực của AC nên:

KA = KC (tính chất đường trung trực)

Do đó, tam giác AKC cân tại K. Suy ra KE là đường phân giác của ∠(AKC)

Suy ra: ∠K2 = ∠K4 ⇒ ∠(AKC) = 2 ∠K2 (2)

Ta có: KD ⊥ AB (gt) và AC ⊥ AB (gt)

Suy ra: KD // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau)

Lại có: KE ⊥ AC (gt)

Suy ra: KE ⊥ KD (quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song)

Hay: ∠(DKE) = 90o⇒ ∠K1 +∠K2 = 90o

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(AKB) + ∠(AKC) = 2∠K1 + 2∠K2

= 2.( ∠K1 +∠K2 ) = 2.90o = 180o.

Vậy B, K, C thẳng hàng.

a) Xét ΔOAHΔOAH và ΔOBHΔOBH ta có:

            OA = OB (theo giả thiết)

            HA = HB (H là trung điểm AB)

            OH chung

⇒ΔOAH=ΔOBH(c−c−c)⇒ΔOAH=ΔOBH(c−c−c)

b) Ta có: ΔOAH=ΔOBHΔOAH=ΔOBH (chứng minh trên)

⇒∠AOH=∠BOH⇒∠AOH=∠BOH ( 2 góc tương ứng bằng nhau)

Hay ∠AOC=∠BOC∠AOC=∠BOC

Xét ΔOACΔOAC và ΔOBCΔOBC ta có:

      OA = OB (theo giả thiết)

      OC chung

      ∠AOC=∠BOC∠AOC=∠BOC

⇒ΔOAC=ΔOBC(c−g−c)⇒ΔOAC=ΔOBC(c−g−c)

⇒∠OAC=∠OBC⇒∠OAC=∠OBC(2 góc tương ứng)

Mà ∠OAC∠OAC= 900  nên ∠OBC∠OBC = 900

⇒CB⊥OB⇒CB⊥OB( điều phải chứng minh)

c) Ta có: ∠AOC=∠BOC∠AOC=∠BOC (chứng minh trên)                    (1)

Xét 2 tam giác vuông MIO và MIH ta có:

      MI chung

      IO = IH (Vì I là trung điểm của OH)

⇒ΔMIO=ΔMIH⇒ΔMIO=ΔMIH (Cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

⇒∠MOI=∠MHI⇒∠MOI=∠MHI (2 góc tương ứng)

Hay∠AOC=∠MHIHay∠AOC=∠MHI                        (2)

Từ (1) và (2) ta có: ∠BOC=∠MHI∠BOC=∠MHI (cặp góc ở vị trí so le trong)

⇒MH//OB⇒MH//OB                             (*)

Lại có:

HK⊥BCOB⊥BC}⇒HK//OBHK⊥BCOB⊥BC}⇒HK//OB (Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng) (**)

Từ (*) và (**) ta có: MH và HK cùng thuộc một đường thẳng song song với OB.

Suy ra M, H, K thẳng hàng (điều phải chứng minh)

x O y A B H C

a) Xét tam giác AHO và tam giác BHO

có OH chung

HA=HB (GT)

OA=OB (GT)

suy ra tam giác AHO = tam giác BHO (c.c.c) (1)

b) Từ (1) suy ra góc AOC = góc BOC

Xét tam giác AOC và tam giác BOC có 

OC chung

góc AOC = góc BOC

OA=OB (GT)

suy ra tam giác AOC = tam giác BOC  (c.g.c)

suy ra góc OAC = góc OBC (hai góc tương ứng)

mà góc OAC =90⁰

suy ra góc OBC = 90⁰

suy ra CB vuông góc với OB tại B

A C B M E H K D

a, xét hai tam giác ABM và ACM có AB=AC, MB=MC, AM chung \(\Rightarrow\) ABM=ACM (c.c.c)

b, AB=AC nên ABC là tam giác cân, M là trung điểm BC nên AM vuông góc với BC

c,xét 2 tam giác AEH và CEM có EA=EC, EM=EH, góc MEC= góc HEA nên hai tam giác đó bằng nhau (c.g.c)

d, theo câu c đã có tam giác AEH=CEM nên góc AHE= góc CME. Hai góc này ở vị trí so le nên AH // BC (1)

tiếp tục xét 2 tam giác DKA và DMB, có góc KDA=DBM, DK = DM. Mặt khác ta thấy DMEA là hinhf bình hành nên ME=AD=DB ( do ME cũng là đường trung bình của ABC)

nên suy ra tam giác DKA=DMB suy ra góc AKD=BMD, hai góc này ở vị trí so le nên AK// BC(2)

Từ 1 và 2 suy ra AH và AK cùng nằm trên 1 đường thẳng hay K,H,A thẳng hàng...

4:

a: Xet ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC
=>ΔAMB=ΔAMC

b: Xet ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

góc EAM=góc FAM

=>ΔAEM=ΔAFM

=>AE=AF
c: AE=AF
ME=MF

=>AM là trung trực của EF

mà K nằm trên trung trực của EF

nên A,M,K thẳng hàng

4:

a: Xet ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC
=>ΔAMB=ΔAMC

b: Xet ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

góc EAM=góc FAM

=>ΔAEM=ΔAFM

=>AE=AF
c: AE=AF
ME=MF

=>AM là trung trực của EF

mà K nằm trên trung trực của EF

nên A,M,K thẳng hàng

Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.