Xét `\triangle CMB` vuông tại `B` có: `BC=BM.tan \hat{CMB}=5\sqrt{3}(cm)`

Xét `\triangle ABC` vuông có: `AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{139}(cm)`

Xét ΔBAC có \(\cos ACB=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

\(\Leftrightarrow3^2+5^2-AB^2=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot5=15\)

\(\Leftrightarrow AB^2=19\)

hay \(AB=\sqrt{19}\left(cm\right)\)

Dạ e cảm ơn nhiều ạ

\(cosCMB=\dfrac{BM^2+MC^2-BC^2}{2\cdot BM\cdot MC}\)

=>\(2^2-10^2+MC^2=2\cdot2\cdot MC\cdot cos135\)

=>\(MC^2+2\sqrt{2}\cdot MC-96=0\)

=>\(MC=6\sqrt{2}\left(cm\right)\)

góc AMC=180-135=45 độ

=>ΔAMC vuông cân tại A

=>\(AM=MC\cdot sin45=6\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=6\left(cm\right)\)

=>AC=6(cm)

Bài 1: Xét ΔABC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{a}{BC}=cos60=\frac12\)

=>BC=2a

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=2a\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=2a\)

Bài 2:

a: ABCD là hình vuông cạnh a

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right|=BC=a\)

b: ABCD là hình vuông

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt2\)

c: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=AC=a\sqrt2\)

\(\cos BCA=\dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}\)

\(\Leftrightarrow5^2+3^2-AB^2=2\cdot3\cdot5\cdot\dfrac{1}{2}=15\)

hay \(AB=\sqrt{19}\left(cm\right)\)

Ta có: \(|\overrightarrow {AB} | = AB\) và \(|\overrightarrow {AC} |\; = AC.\)

Mà \(AB = 3,\;AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2  \)

\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {AB} |\, = 3;\;\;|\overrightarrow {AC} |\, = 3\sqrt 2 \)

AM=2/3AB

=>BM=1/3AB

=>\(\dfrac{S_{BMC}}{S_{BAC}}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(S_{BAC}=3\cdot S_{BMC}=12\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinBAC=12\sqrt{3}\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot AB\cdot sin120=12\sqrt{3}\)

=>\(AB\cdot2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)

=>AB=6

a: ABCD là hình thoi cạnh a

=>AB=BC=CD=DA=a

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BAD}+\hat{ABC}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

Xét ΔBAC có \(cosABC=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(\frac{a^2+a^2-AC^2}{2\cdot a\cdot a}=cos120=-\frac12\)

=>\(\frac{2a^2-AC^2}{2a^2}=\frac{-1}{2}\)

=>\(4a^2-2AC^2=-2a^2\)

=>\(2\cdot AC^2=6a^2\)

=>\(AC^2=3a^2\)

=>\(AC=a\sqrt3\)

=>\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt3\)

b: Ta có: \(\hat{ABC}+\hat{ABH}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{ABH}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔAHB vuông tại H có sin ABH=\(\frac{AH}{AB}\)

=>\(\frac{AH}{a}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(AH=\frac{a\sqrt3}{2}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AH}\right|=AH=\frac{a\sqrt3}{2}\)