O M B A S D R C N

Dễ thấy ΔAOB = ΔCOB = ΔAOD = ΔCOD

Mà OM , ON , OS , OR lần lượt là đường cao của cả ΔAOB , ΔCOB , ΔAOD , ΔCOD

=> OM = ON = OS + OR

=> Không cách đều M , N , S , R

=> M ,N , S , R ∈ ( 0 ) (đcpm)

a: ABCD là hình thoi

=>AC là phân giác của góc BAD, CA là phân giác của góc BCD, BD là phân giác của góc ABC, DB là phân giác của góc ADC

Xét ΔAHO vuông tại H và ΔALO vuông tại L có

AO chung

\(\hat{HAO}=\hat{LAO}\)

Do đó: ΔAHO=ΔALO

=>OH=OL(1)

Xét ΔDLO vuông tại L và ΔDKO vuông tại K có

DO chung

\(\hat{LDO}=\hat{KDO}\)

Do đó: ΔDLO=ΔDKO

=>OL=OK(2)

Xét ΔCIO vuông tại I và ΔCKO vuông tại K có

CO chung

\(\hat{ICO}=\hat{KCO}\)

Do đó: ΔCIO=ΔCKO

=>OI=OK(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra OH=OL=OK=OI

=>H,L,K,I cùng thuộc (O;OH)

ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

O là trung điểm của AC

=>AO=OC=AC/2=2(cm)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

ΔABD đều

mà AO là đường cao

nên \(AO=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(AB=2:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4}{\sqrt3}\) (cm)

ΔAOB vuông tại O

=>\(AO^2+OB^2=AB^2\)

=>\(OB^2=\left(\frac{4}{\sqrt3}\right)^2-2^2=\frac{16}{3}-4=\frac{16}{3}-\frac{12}{3}=\frac43\)

=>\(OB=\frac{2}{\sqrt3}\) (cm)

Xét ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao

nên \(OH\cdot AB=OA\cdot OB\)

=>\(OH\cdot\frac{4}{\sqrt3}=2\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{4}{\sqrt3}\)

=>OH=1(cm)

=>\(R_{\left(HLKI\right)}=1\operatorname{cm}\)

b: Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và \(NP=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và MN=AC/2

NP//BD

MQ//BD

Do đó: MQ//NP

\(MQ=\frac{BD}{2}\)

\(NP=\frac{BD}{2}\)

Do đó: MQ=NP

MN//AC

AC⊥BD

Do đó: MN⊥BD

MN⊥BD

MQ//BD

Do đó: MN⊥MQ

Xét tứ giác MQPN có

MQ//PN

MQ=PN

Do đó: MQPN là hình bình hành

Hình bình hành MQPN có MN⊥MQ

nên MQPN là hình chữ nhật

=>M,Q,P,N cùng thuộc một đường tròn

Sửa đề: K là hình chiếu của O trên CD

Xét ΔAOS vuông tại S và ΔCON vuông tại N có

OA=OC

góc OAS=góc OCN

Do đó: ΔAOS=ΔCON

Suy ra: OS=ON và góc AOS=góc CON

=>góc AOS+góc AON=180 độ

=>S,O,N thẳng hàng

=>O là trung điểm của SN

Xét ΔAMO vuông tại M và ΔCOK vuông tại K có 

OA=OC

góc OAM=góc KCO

Do đó: ΔAMO=ΔCOK

Suy ra: OM=OK và góc AOM=góc COK

=>góc AOM+góc AOK=180 độ

=>M,O,K thẳng hàng

=>O la trung điểm của MK

Xét ΔAMO vuông tại M và ΔASO vuông tại S có

AO chung

góc MAO=gó SAO

Do đó: ΔAMO=ΔASO

Suy ra: OM=OS

=>MK=SN

Xét tứ giác MSKN có

MK và SN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau

nên MSKN là hình chữ nhật

=>M,N,K,S cùng thuộc 1 đường tròn

a)Ta có:

AO=BO=OC=DO (vì O là trung điểm của AC và BD)

AH=HI=IL=KL (vì H, I, K, L lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD, DA)

AO=AH+HO

BO=HI+HO

CO=IL+HO

DO=KL+HO

AH+HO=HI+HO=IL+HO=KL+HO

AH=HI=IL=KL

Vậy, bốn đoạn thẳng AH, HI, IL, KL bằng nhau và có chung điểm cuối H. Do đó, bốn điểm H, I, K, L cùng nằm trên một đường tròn có tâm O.

b) Ta có:

AH=HI=IL=KL=AC/2

AO=BO=OC=DO=AC/2

Gọi r là bán kính của đường tròn (O).

Từ các kết quả trên, ta có:

r=AC/2=4cm/2=2cm

Vậy, bán kính của đường tròn (O) là 2cm.

a: ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: OH⊥AB

AB//CD

Do đó: OH⊥CD
Ta có: OH⊥CD

OK⊥CD
mà OH,OK có điểm chung là O

nên H,O,K thẳng hàng

Ta có: OL⊥AD

AD//BC

Do đó: OL⊥BC

Ta có: OL⊥BC

OI⊥BC

mà OL,OI có điểm chung là O

nên L,O,I thẳng hàng

Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOKD vuông tại K có

OB=OD

\(\hat{OBH}=\hat{ODK}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔOHB=ΔOKD

=>OH=OK

Xét ΔOIB vuông tại I và ΔOLD vuông tại L có

OB=OD

\(\hat{OBI}=\hat{ODL}\) (hai góc so le trong, BI//DL)

Do đó: ΔOIB=ΔOLD

=>OI=OL

Xét ΔAHO vuông tại H và ΔALO vuông tại L có

AO chung

\(\hat{HAO}=\hat{LAO}\)

Do đó: ΔAHO=ΔALO

=>OH=OL

=>OH=OL=OI=OK

=>H,L,I,K cùng nằm trên (O)

b: O là trung điểm của AC

=>AO=AC/2=2(cm)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>\(\hat{ADB}=60^0\)

Xét ΔAOD vuông tại O có tan ADO=\(\frac{AO}{OD}\)

=>\(\frac{2}{OD}=\tan60=\sqrt3\)

=>\(OD=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\) (cm)

ΔAOD vuông tại O

=>\(AO^2+OD^2=AD^2\)

=>\(AD^2=2^2+\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2=4+\frac43=\frac{4\cdot3+4}{3}=\frac{16}{3}=\frac{48}{9}\)

=>\(AD=\frac{4\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔOAD vuông tại O có OL là đường cao

nên \(OL\cdot AD=OA\cdot OD\)

=>\(OL\cdot\frac{4\sqrt3}{3}=\frac{2\sqrt3}{3}\cdot2=\frac{4\sqrt3}{3}\)

=>OL=1(cm)

=>R=1(cm)

a: ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: OH⊥AB

AB//CD

Do đó: OH⊥CD
Ta có: OH⊥CD

OK⊥CD
mà OH,OK có điểm chung là O

nên H,O,K thẳng hàng

Ta có: OL⊥AD

AD//BC

Do đó: OL⊥BC

Ta có: OL⊥BC

OI⊥BC

mà OL,OI có điểm chung là O

nên L,O,I thẳng hàng

Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOKD vuông tại K có

OB=OD

\(\hat{OBH}=\hat{ODK}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔOHB=ΔOKD

=>OH=OK

Xét ΔOIB vuông tại I và ΔOLD vuông tại L có

OB=OD

\(\hat{OBI}=\hat{ODL}\) (hai góc so le trong, BI//DL)

Do đó: ΔOIB=ΔOLD

=>OI=OL

Xét ΔAHO vuông tại H và ΔALO vuông tại L có

AO chung

\(\hat{HAO}=\hat{LAO}\)

Do đó: ΔAHO=ΔALO

=>OH=OL

=>OH=OL=OI=OK

=>H,L,I,K cùng nằm trên (O)

b: O là trung điểm của AC

=>AO=AC/2=2(cm)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>\(\hat{ADB}=60^0\)

Xét ΔAOD vuông tại O có tan ADO=\(\frac{AO}{OD}\)

=>\(\frac{2}{OD}=\tan60=\sqrt3\)

=>\(OD=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\) (cm)

ΔAOD vuông tại O

=>\(AO^2+OD^2=AD^2\)

=>\(AD^2=2^2+\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2=4+\frac43=\frac{4\cdot3+4}{3}=\frac{16}{3}=\frac{48}{9}\)

=>\(AD=\frac{4\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔOAD vuông tại O có OL là đường cao

nên \(OL\cdot AD=OA\cdot OD\)

=>\(OL\cdot\frac{4\sqrt3}{3}=\frac{2\sqrt3}{3}\cdot2=\frac{4\sqrt3}{3}\)

=>OL=1(cm)

=>R=1(cm)