gọi giao điểm của AC và BD là H

vì ABCD là hình thoi nên 2 đg chéo cắt nhau tại tđiểm của mỗi đường 

=>AH=HC=16cm;DH=HB=12cm

áp dụng Đl py_ta_go vào TG vuông AHB

=>AB=căn Ah²+HB² =20cm

vì ABCD là hình thoi nên 4 cạnh bằng nhau 

áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc vào TG AHB

ta có sin ABH =AH/AB

=>ABH~53

=>góc ABC=53độ *2+106

tự tính tiếp nhe bạn ...:)

=106 chứ không phải + 106 đâu bạn nhé

a: Sửa đề: AB=13(cm)

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

=>\(CH=DH=\frac{CD}{2}=\frac{12}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(HA\cdot HB=CH^2=6^2=36\)

mà HA+HB=AB=13cm

nên HA,HB là các nghiệm của phương trình:

\(x^2-13x+36=0\)

=>(x-4)(x-9)=0

=>x=4 hoặc x=9

=>AH=4cm; BH=9cm hoặc AH=9cm; BH=4cm

b: Xét ΔCHA vuông tại H có HM là đường cao

nên \(CM\cdot CA=CH^2\)

=>\(CM=\frac{CH^2}{CA}\)

Xét ΔCHB vuông tại H có HN là đường cao

nên \(CN\cdot CB=CH^2\)

=>\(CN=\frac{CH^2}{CB}\)

Xét tứ giác CMHN có \(\hat{CMH}=\hat{CNH}=\hat{MCN}=90^0\)

nên CMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{CMHN}=CM\cdot CN=\frac{CH^2}{CA}\cdot\frac{CH^2}{CB}\)

\(=\frac{CH^4}{CH\cdot AB}=\frac{CH^3}{AB}=\frac{6^3}{13}=\frac{216}{13}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Vì BC có độ dài lớn nhất nên đề bài tương đương với: \(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)(Định lí Pythagoras đảo)

Lập phương 2 vế: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

Ôn lại các hệ thức lượng cho tam giác vuông vì sắp tới mình sẽ dùng 1 chuỗi hệ thức đấy:

+Tam giác AHD vuông tại H, đường cao DH: \(AH^2=AD.AB,BH^2=BD.BA\)

+Tam giác AHC vuông tại H, đường cao EH: \(AH^2=AC.AE,CH^2=CA.CE\)

+Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH: \(AH^2=HB.HC,AH.BC=AB.AC,BC^2=AB^2+AC^2\)

$ ADHE là hình chữ nhật nên AD=HE

$ Tam giác AHE vuông tại H nên \(AH^2=AE^2+HE^2\)

Ok, giờ triển thoi: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-AD\right)^2+\left(AC-AE\right)^2+3\sqrt[3]{\left(BD.CE\right)^2}.\sqrt[3]{BC^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB^2+AC^2\right)+\left(AD^2+AE^2\right)-2\left(AB.AD+AC.AE\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2+\left(AE^2+HE^2\right)-2\left(AH^2+AH^2\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2-4AH^2-3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=3AH^2\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC=AH^3\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC.AH=AH^4\)

\(\Leftrightarrow\left(BD.BA\right)\left(CE.CA\right)=AH^4\)

\(\Leftrightarrow BH^2.CH^2=AH^4\Leftrightarrow BH.CH=AH^2\)---> Luôn đúng

Vậy giả thiết đúng.

(Bài dài giải mệt vler !!)