BM+BN=AB

BM+MA=BA

Do đó: BN=MA

Ta có: BN+NC=BC

MA+MB=BA

mà BN=MA và BC=BA

nên NC=MB

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BCD}=\hat{BAD}=60^0\)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>AB=AD=BD và \(\hat{ABD}=\hat{ADB}=60^0\)

Xét ΔCBD có CB=CD và \(\hat{BCD}=60^0\)

nên ΔCBD đều

=>CB=CD=BD và \(\hat{CBD}=\hat{CDB}=60^0\)

Xét ΔMAD và ΔNBD có

MA=NB

\(\hat{MAD}=\hat{NBD}\left(=60^0\right)\)

AD=BD

Do đó: ΔMAD=ΔNBD

=>MD=ND

ΔMAD=ΔNBD

=>\(\hat{MDA}=\hat{NDB}\)

mà \(\hat{MDA}+\hat{MDB}=\hat{ADB}=60^0\)

nên \(\hat{MDB}+\hat{NDB}=60^0\)

=>\(\hat{MDN}=60^0\)

Xét ΔDMN có DM=DN và \(\hat{MDN}=60^0\)

nên ΔDMN đều

( Nối B với D)

ta có: MB + NB = AB

mà MB + MA = AB

=> MB + NB = MB + MA (=AB)

Xét hình thoi ABCD

có: BD là đường chéo (gt)

=> BD là tia phân giác của góc ABC ( định lí)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\left(\cdot\right)\)

mà ^A + ^ABC = 180 độ ( AD// BC, 2 góc trong cùng phía)

thay số: 60 độ + ^ABC = 180 độ

^ABC = 120 độ

Từ (.) => ^ABD = ^DBC = ^ABC/2 = 120 độ/2 = 60 độ

=> ^DBC = 60 độ

ta có: AD = AB ( ABCD là hình thoi)

=> tam giác ABD là tg cân tại A ( định lí)

mà ^A = 60 độ (gt)

=> tg ABD đều ( định lí)

=> AB = BD = AD (tính chất)

^ADB = 60 độ ( tính chất) => ^ADM + ^ MDB = 60 độ ( = ^ADB) (1)

ta có: tg ADM = tg BDN ( c-g-c)

=> DM = DN ( 2 cạnh t/ư) 

=> tg DMN cân tại D ( định lí) (*)

Lại suy ra: ^ADM = ^BDN ( tg ADM = tgBDN)

Từ(1) => ^BDN + ^MDB = 60 độ => ^MDN = 60 độ (**)

Từ (*);(**) => tg MND đều ( định lí)

Xét ΔIAB và ΔICD có

góc IAB=góc ICD
goc AIB=góc CID

=>ΔIAB đồng dạng với ΔICD

=>IB/ID=AB/CD=BM/MC

=>IM//DC

=>IM vuông góc AD