a: Xét ΔBAM và ΔBCN có

BA=BC

góc BAM=góc BCN

AM=CN

Do đó: ΔBAM=ΔBCN

=>BM=BN

=>ΔBMN cân tại B

b: DM+MA=DA

DN+NC=DC

mà DA=DC và MA=NC

nên DM=DN

BM=BN

DM=DN

Do đó: BD là trung trực của MN

=>BD vuông góc MN

c: Xét ΔABD có AB=AD và góc A=60 độ

nên ΔABD đều

ΔABD đều có BM là trung tuyến

nên BM là phân giác của góc ABD(1)

Xét ΔCBD có CB=CD và góc C=60 độ

nên ΔCBD đều

ΔCBD đều có BN là trung tuyến

nên BN là phân giác của góc DBC(2)

Từ (1), (2) suy ra góc MBN=1/2(góc ABD+góc CBD)

=1/2*góc ABC

=60 độ

Xét ΔBMN có BM=BN và góc MBN=60 độ

nên ΔBMN đều

=>góc BMN=60 độ

a: P là trung điểm của AB

=>\(BP=\frac12\cdot BA\)

=>\(S_{PBC}=\frac12\cdot S_{ABC}\)

ABCD là hình thoi

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot S_{ABCD}\)

=>\(S_{PBC}=\frac12\cdot\frac12\cdot S_{ABCD}=\frac14\cdot S_{ABCD}\)

=>\(S_{ABCD}=4\cdot S_{PBC}\)

b: Sửa đề: N là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của DP và AM

ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại N và N là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

ΔABD đều

mà DP là đường trung tuyến

nên DP⊥AB tại P

Xét ΔPMA vuông tại P và ΔPBD vuông tại P có

\(\hat{PMA}=\hat{PBD}\left(=90^0-\hat{PAM}\right)\)

Do đó; ΔPMA~ΔPBD

=>\(\frac{PM}{PB}=\frac{PA}{PD}\)

=>\(PM\cdot PD=PA\cdot PB\)

Nối BD, ta có AB = AD (gt)

Suy ra ∆ ABD cân tại A

Mà ∠ A = 60 0  ⇒  ∆ ABD đều

⇒  ∠ (ABD) =  ∠ D 1 =  60 0  và BD = AB

Suy ra: BD = BC = CD

⇒ ∆ CBD đều ⇒  ∠ D 2 =  60 0

Xét  ∆ BAM và  ∆ BDN,ta có:

AB = BD ( chứng minh trên)

∠ A =  ∠ D 2  =  60 0

AM = DN (giả thiết)

Do đó  ∆ BAM =  ∆ BDN ( c.g.c) ⇒  ∠ B 1 =  ∠ B 3  và BM = BN

Suy ra ΔBMN cân tại B.

Mà  ∠ B 2 + ∠ B 1  =  ∠ (ABD) =  60 0

Suy ra:  ∠ B 2 +  ∠ B 3  =  ∠ B 2  +  ∠ B 1  = 60° hay  ∠ (MBN) =  60 0

Vậy  ∆ BMN đều