a. Kẻ BE ⊥ CD

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật

Ta có: AD = BE

AB = DE = 4 (cm)

Suy ra: CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông BCE ta có :

BC2 = BE2 + CE2

Suy ra : BE2 = BC2 – CE2 = 132 – 52 = 144

BE = 12 (cm)

Vậy: AD = 12 (cm)

b. Gọi I là trung điểm của BC

Ta có: IB = IC = (1/2).BC = (1/2).13 = 6,5 (cm) (1)

Kẻ IH ⊥ AD. Khi đó HI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Từ (1) và (2) suy ra : IB = IH = R

Vậy đường tròn (I ; BC/2 ) tiếp xúc với đường thẳng AD

a . Gọi O là tâm của đường tròn có đường kính BC.

Xét \(\Delta\)BMC vuông tại M có O là trung điểm của BC (OB=OC)

\(\Rightarrow CB=MO=OC\)

\(\Leftrightarrow M\in\left(O;OB\right)\left(1\right)\)

Xét hình thang ABCD có :

M là trung điểm của AD;O là trung điểm của BC

\(\Rightarrow MO\) là đường trung bình

\(\Leftrightarrow\)AB//MO

Mà AD\(\perp\)AB

\(\Rightarrow MO\perp AD\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)suyra\) AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Abcd +CD + AB= 0

A B C D O I H K C'

+) Chứng minh nếu AD // BC thì đường tròn (I) đường kính CD tiếp xúc AB:

Gọi tiếp điểm giữa (O) và CD là H .Từ I hạ IK vuông góc AB tại K.

Khi đó tứ giác KOHI nội tiếp đường tròn (OI) => ^KHI = ^KHD = ^KOI

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang (Vì BC // AD) có đường trung bình OI nên OI // BC // AD

=> ^KOI = ^KBC. Do đó ^KHD = ^KBC => Tứ giác BKHC nội tiếp. Tương tự, tứ giác ADHK nội tiếp

Từ đó ^DKC = ^DKH + ^CKH = ^DAH + ^CBH. Kết hợp với AD // BC suy ra ^DKC = ^BHA = 90⁰

=> Điểm K thuộc đường tròn (I). Mà AB vuông góc IK tại K nên (I) tiếp xúc AB (*)

+) Chứng minh nếu (I) đường kính CD tiếp xúc với AB thì AD // BC:

Ta gọi tiếp điểm giữa (I) và AB là K, qua K kẻ đường thẳng song song với AH cắt CD tại C'

Lúc này, ^KC'I = ^AHD = ^ABH. Ta có KC' // AH; AH vuông góc BH => KC' vuông góc BH

Do KI vuông góc AB nên ^IKC' = ^ABH. Suy ra ^KC'I = ^IKC' => \(\Delta\)KIC' cân tại I

=> IC' = IK = IC. Mà C và C' nằm cùng phía so với  IK nên C trùng C'.

Từ đây ^KCH = ^AHI = ^KBH => Tứ giác KHCB nội tiếp. Hoàn toàn tương tự, tứ giác AKHD nội tiếp

Vậy thì ^HCB = ^HKA = 180⁰ - ^ADH => AD // BC (**)

+) Qua (*) và (**), ta thu được ĐPCM.

Gọi Ω là đường tròn đường kính AC.

Đặt hệ trục tọa độ:
A(0,0), B(b,0), C(0,c), với b > 0, c > 0
Khi đó AB là trục Ox, AC là trục Oy.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB tại E nên đặt
I(u,r), E(u,0)

Vì (I) tiếp xúc với BC tại D nên khoảng cách từ I đến BC bằng r.
Phương trình BC là:
cx + by - bc = 0
Suy ra
bc - cu - br = r√(b^2 + c^2) (1)

Đường tròn Ω có tâm O(0,c/2), bán kính c/2.
Vì (I) tiếp xúc ngoài với Ω tại F nên
OI = r + c/2
hay
u^2 + (r - c/2)^2 = (r + c/2)^2
Suy ra
u^2 = 2cr (2)

Chứng minh C, E, F thẳng hàng

Vì F là tiếp điểm ngoài của hai đường tròn nên F nằm trên đoạn OI và
OF : FI = c/2 : r

Suy ra
F = O + (c/(c + 2r)) (I - O)

Nên tọa độ F là
xF = cu/(c + 2r)
yF = 2cr/(c + 2r)

Đường thẳng CE đi qua C(0,c) và E(u,0), nên có phương trình
y = c - (c/u)x

Thay tọa độ F vào:
c - (c/u).cu/(c + 2r)
= c - c^2/(c + 2r)
= 2cr/(c + 2r)
= yF

Vậy F thuộc CE, do đó C, E, F thẳng hàng.

Chứng minh CD = CA

Vì BC là tiếp tuyến của (I) tại D nên lực của điểm C đối với (I) là
CD^2 = CE.CF (3)

Ta tính CE và CF.

Ta có
CE^2 = u^2 + c^2
Từ (2):
CE^2 = 2cr + c^2 = c(c + 2r) (4)

Mặt khác, vì F thuộc CE và
xF/xE = [cu/(c + 2r)]/u = c/(c + 2r)
nên
CF/CE = c/(c + 2r)

Suy ra
CF = c/(c + 2r) . CE (5)

Từ (3), (4), (5):
CD^2 = CE.CF
= CE . c/(c + 2r) . CE
= c/(c + 2r) . CE^2
= c/(c + 2r) . c(c + 2r)
= c^2

Vậy
CD = c

Mà
CA = c

Suy ra
CD = CA

Kết luận:
C, E, F thẳng hàng
CD = CA