Gọi hình thang đề bài cho là hình thang cân ABCD, có AB//CD,AD⊥ AC tại A, AB=10; DC=26

Kẻ AH⊥DC tại H và BK⊥DC tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>AH=BK và DH=CK

Xét tứ giác ABKH có

AH//BK

AH=BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=HK

=>HK=10

HK+DH+KC=DC

=>DH+KC=26-10=16

mà DH=KC

nên DH=KC=16/2=8

DH+HC=DC

=>HC=26-8=18

Xét ΔADC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HC=8\cdot18=144=12^2\)

=>AH=12

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot12\cdot\left(10+26\right)=6\cdot36=216\)

Kẻ CH,DK vuông góc với AB

ΔCAB vuông tại C

=>CA^2+CB^2=AB^2

=>CA^2=26^2-10^2=576

=>CA=24(cm)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên CH*AB=CA*CB

=>CH*26=24*10=240

=>CH=120/13(cm)

ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên BH*BA=CB^2

=>BH=10^2/26=100/26=50/13(cm)

Xét ΔDKA vuông tại K và ΔCHB vuông tại H có

DA=CB

góc DAK=góc CBH

=>ΔDKA=ΔCHB

=>BH=KA=50/13(cm)

=>KH=26-50/13*2=238/13(cm)

Xét tứ giác DCHK có

DC//HK

DK//HC

=>DCHK là hình bình hành

=>DC=HK=238/13(cm)

S ABCD=1/2(DC+AB)*CH

=1/2(238/13+26)*120/13

=60/13*576/13

=34560/169cm²

-Gọi hình thang là ABCD, đáy nhỏ AB, đáy lớn CD, có AC⊥AD.

-Từ đỉnh A kẻ đường cao AH của hình thang. Khi đó, DH = \(\frac{50-14}{2}=18\) (cm) và CH = 50 - 18 = 32 (cm)

-Xét tam giác ACD vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH^2=HD.HC=18.32=576\Rightarrow AH=24\)(cm)

-Xét tam giác AHD vuông tại H: \(AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{24^2+18^2}=30\) (cm)

-Đã có hết các cạnh và đường cao của hình thang, áp dụng công thức tính ra chu vi và diện tích.

Kẻ đường cao góc AE \(\Rightarrow AE=AB\)

Lại có ABCD là hình thang cân \(\Rightarrow CD=AB+2DE=AE+2DE\Rightarrow DE=\dfrac{CD-AE}{2}=\dfrac{10-AE}{2}\) 

\(EC=AB+DE=AE+DE=AE+\dfrac{10-AE}{2}=\dfrac{AE+10}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACD có:

\(AE^2=DE.EC\Leftrightarrow AE^2=\left(\dfrac{10-AE}{2}\right)\left(\dfrac{10+AE}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow4AE^2=100-AE^2\Rightarrow AE=2\sqrt{5}\) \(\Rightarrow AB=2\sqrt{5}\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AE.\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{5}.\left(2\sqrt{5}+10\right)=...\)

Câu 11.12. 

Kẻ đường cao \(AH,BK\).

Do tam giác \(\Delta AHD=\Delta BKC\left(ch-gn\right)\)nên \(DH=BK\).

Đặt \(AB=AH=x\left(cm\right),x>0\).

Suy ra \(DH=\frac{10-x}{2}\left(cm\right)\)

Xét tam giác \(AHD\)vuông tại \(H\):

\(AD^2=AH^2+HD^2=x^2+\left(\frac{10-x}{2}\right)^2\)(định lí Pythagore) 

Xét tam giác \(DAC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\):

\(AD^2=DH.DC=10.\left(\frac{10-x}{2}\right)\)

Suy ra \(x^2+\left(\frac{10-x}{2}\right)^2=10.\frac{10-x}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=2\sqrt{5}\)(vì \(x>0\))

Vậy đường cao của hình thang là \(2\sqrt{5}cm\).

Câu 11.11. 

Kẻ \(AE\perp AC,E\in CD\).

Khi đó \(AE//BD,AB//DE\)nên \(ABDE\)là hình bình hành. 

Suy ra \(AE=BD=15\left(cm\right)\).

Kẻ đường cao \(AH\perp CD\)suy ra \(AH=12\left(cm\right)\).

Xét tam giác \(AEC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\): 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{12^2}-\frac{1}{15^2}=\frac{1}{400}\)

\(\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.15.20=150\left(cm^2\right)\),