a) Xét ΔACD và ΔBDC có 

AC=BD

AD=BC

DC chung

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{IDC}=\widehat{ICD}\)

Xét ΔIDC có \(\widehat{IDC}=\widehat{ICD}\)

nên ΔIDC cân tại I

Suy ra: ID=IC

Ta có: AI+IC=AC

BI+DI=BD

mà AC=BD

và ID=IC

nên IA=IB

Gọi giao điểm của AC và BD là O
Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác AOB cân tại O mà  \(\widehat{AOB}=60^0\Rightarrow\) tam giác AOB đều, ta giác COD đều
Mặt khác: 
BM là đường cao của tam giác AOB nên BM cũng là trung tuyến \(\Rightarrow\) MA=MO
CN là đường cao của tam giác COD nên cn cũng là trung tuyến\(\Rightarrow\) NO=ND
Tam giác AOD có: MA=MO, NO=ND \(\Rightarrow\)\(MN=\frac{AD}{2}\)
Tam giác BMC vuông tại M có MP là trung tuyến nên 
Tam giác BNC vuông tại N có NP là trung tuyến nên 
Do đó: MN=NP=MP

ọi giao điểm của AC và BD là O
Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác AOB cân tại O mà tam giác AOB đều, ta giác COD đều
Mặt khác:
BM là đường cao của tam giác AOB nên BM cũng là trung tuyến MA=MO
CN là đường cao của tam giác COD nên cn cũng là trung tuyến NO=ND
Tam giác AOD có: MA=MO, NO=ND
Tam giác BMC vuông tại M có MP là trung tuyến nên \(\(MP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)\)
Tam giác BNC vuông tại N có NP là trung tuyến nên \(\(NP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)\)
Vậy => MN=NP=MP

bạn tự vẽ hình nhé :)
a) ABCE là hình thang có 2 cạnh bên song song => AC=BE mà AC=BD => BE=BD => tam giác BDE cân tại B
b) tam giác BDE cân tại B => góc BDC=góc E mà góc ACD=góc E (2 góc đồng vị, AC//BE) => góc BDC= góc ACD
    từ đó, chứng minh đc tg ACD=BDC (c-g-c)
c) tg ACD=BDC => góc ADC=góc BCD (2 góc tương ứng) => đpcm 

tg BDE cân tại B:

ta có:ACD=BAC(AB//CD) 
 mà ACD =BEC =>BEC=BAC 

xét tg ABC va tg ECB 
+BC chung 
+ACB=EBC(so le trong) 
+BEC=BAC(cm trên ) 
=>tam giac ABC =tam giac ECB 
=>BDC=BEC 
ma `BEC=ACD(đồng vị)

=>ACD=BDC 
xét tg ACD va tg BDC,ta có : 
+DC chung 
+ACD=BDC 
+AC=BD(gt) 
=>tg ACD = tg BDC 
=>ADC=BCD 
=>ABCD la hình thang cân (đpcm) 

a, AB song song với CE(gt) nên góc ABC = góc ECB

AC song song với BE(gt) nên góc ACB = góc EBC

Tam giác ABC = Tam giác ECB (g.c.g) nên AC=BE (2 cạnh tương ứng)

Mà AC =BD (gt) do đó: BD =BE

 Vậy tam giác BDE cân tại B

b, Tam giác BDE cân tại B (cmt) suy ra: góc BDC =góc E (t/c)

AC song song với BE(gt) nên góc ACD = góc E (đồng vị)

Tam giác ACD = tam giác BDC (c.g.c)

c, 2 tam giác bằng nhau trên suy ra: góc ADC = góc BCD

Vậy ABCD là hình thang cân (định nghĩa)

Bài 2:Bổ sung đề: \(\hat{CBA}=60^0\)

a: ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{CBA}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{DAB}=60^0\)

CD//BA

=>\(\hat{DCB}+\hat{CBA}=180^0\)

=>\(\hat{DCB}=180^0-60^0=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{DCB}=\hat{CDA}\)

=>\(\hat{CDA}=120^0\)

b: Sửa đề: AC là phân giác của góc DAB

ΔCBA vuông tại C

=>\(\hat{CBA}+\hat{CAB}=90^0\)

=>\(\hat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)

=>\(\hat{CAB}=\frac12\cdot\hat{DAB}\)

=>AC là phân giác của góc DAB

c: Kẻ CH⊥AB tại H

TA có: DC//AB

=>\(\hat{DCA}=\hat{CAB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAB}=\hat{DAC}\) (AC là phân giác của góc DAB)

nên \(\hat{DCA}=\hat{DAC}\)

=>DC=DA

mà DA=CB

nên CB=CD=DA=a

Xét ΔCBA vuông tại C có sin CAB=\(\frac{CB}{AB}\)

=>\(\frac{a}{AB}=\sin30=\frac12\)

=>AB=2a

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH\cdot AB=CB\cdot CA\)

=>\(CH\cdot2a=a\cdot a\sqrt3=a^2\sqrt3\)

=>\(CH=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(CD+BA\right)\cdot CH\)

\(=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(a+2a\right)=\frac{a\sqrt3}{4}\cdot3a=\frac{3a^2\sqrt3}{4}\)