Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D O
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
- Xét lần lượt các tam giác OAB , OBC , OCD , OAD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được :
\(OA+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OA+OD>AD\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+AD\)
\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\) \(\Rightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)
- Tương tự, lần lượt xét các tam giác ACD , BCD , BAC , ABD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được :
\(AD+CD>AC\) ; \(BC+CD>BD\) ; \(AB+BC>AC\) ; \(AB+AD>BD\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)
\(\Rightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)(2)
Từ (1) và (2) ta có : \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)
hay \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+AD\)
A B C D O
Xét tam giác ABC và BAD có :
AB : chung
\(\widehat{BAD}=\widehat{ABC}\)
AD = BC
( ABCD là hình thang cân )
\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta BAD\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\)
\(\Delta AOB\)CÓ : \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\Rightarrow\Delta AOB\)cân tại O nên OA = OB
Bài 3:
a: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
nên DE//BC
Xét tứ giác BDEC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)
nên BDEC là hình thang cân
b: BDEC là hình thang cân
=>BD=EC
DB=DE
=>ΔDBE cân tại D
=>\(\hat{DEB}=\hat{DBE}\)
mà \(\hat{DEB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, DE//BC)
nên \(\hat{DBE}=\hat{CBE}\)
=>BE là phân giác của góc ABC
=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC
ED=EC
=>ΔEDC cân tại E
=>\(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)
mà \(\hat{EDC}=\hat{BCD}\) (hai góc so le trong, DE//BC)
nên \(\hat{ECD}=\hat{BCD}\)
=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}\)
=>CD là phân giác của góc ACB
=>D là chân đường phân giác kẻ từ C xuống AB
Bài 2:
a: ΔCAD vuông tại C
=>\(\hat{CAD}+\hat{CDA}=90^0\)
=>\(\hat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)
AC là phân giác của góc BAD
=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{CAD}=60^0\)
Xét hình thang ABCD có \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\left(=60^0\right)\)
nên ABCD là hình thang cân
b: BC//AD
=>\(\hat{BCA}=\hat{CAD}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{CAD}=\hat{BAC}\) (AC là phân giác của góc BAD)
nên \(\hat{BCA}=\hat{BAC}\)
=>BC=BA
=>BC=BA=CD
Xét ΔCAD vuông tại C có cos CDA=\(\frac{CD}{DA}\)
=>\(\frac{CD}{DA}=cos60=\frac12\)
=>CD=0,5AD
=>BC=BA=CD=0,5AD
Chu vi hình thang ABCD là 20cm
=>AB+BC+CD+DA=20
=>0,5AD+0,5AD+0,5AD+AD=20
=>2,5AD=20
=>AD=8(cm)
Bài 1:
a: Xét ΔADC và ΔBCD có
AD=BC
DC chung
AC=BD
Do đó: ΔADC=ΔBCD
=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)
=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)
=>OD=OC
Ta có: OD+OB=BD
OC+OA=AC
mà BD=AC và OD=OC
nên OB=OA
b: Xét ΔEDC có AB//DC
nên \(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\)
mà AD=BC
nên EA=EB
=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB
Ta có: EA+AD=ED
EB+BC=EC
mà EA=EB và AD=BC
nên ED=EC
=>E nằm trên đường trung trực của DC(3)
Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)
Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của CD
Bài 3:
a: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
nên DE//BC
Xét tứ giác BDEC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)
nên BDEC là hình thang cân
b: BDEC là hình thang cân
=>BD=EC
DB=DE
=>ΔDBE cân tại D
=>\(\hat{DEB}=\hat{DBE}\)
mà \(\hat{DEB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, DE//BC)
nên \(\hat{DBE}=\hat{CBE}\)
=>BE là phân giác của góc ABC
=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC
ED=EC
=>ΔEDC cân tại E
=>\(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)
mà \(\hat{EDC}=\hat{BCD}\) (hai góc so le trong, DE//BC)
nên \(\hat{ECD}=\hat{BCD}\)
=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}\)
=>CD là phân giác của góc ACB
=>D là chân đường phân giác kẻ từ C xuống AB
Bài 2:
a: ΔCAD vuông tại C
=>\(\hat{CAD}+\hat{CDA}=90^0\)
=>\(\hat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)
AC là phân giác của góc BAD
=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{CAD}=60^0\)
Xét hình thang ABCD có \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\left(=60^0\right)\)
nên ABCD là hình thang cân
b: BC//AD
=>\(\hat{BCA}=\hat{CAD}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{CAD}=\hat{BAC}\) (AC là phân giác của góc BAD)
nên \(\hat{BCA}=\hat{BAC}\)
=>BC=BA
=>BC=BA=CD
Xét ΔCAD vuông tại C có cos CDA=\(\frac{CD}{DA}\)
=>\(\frac{CD}{DA}=cos60=\frac12\)
=>CD=0,5AD
=>BC=BA=CD=0,5AD
Chu vi hình thang ABCD là 20cm
=>AB+BC+CD+DA=20
=>0,5AD+0,5AD+0,5AD+AD=20
=>2,5AD=20
=>AD=8(cm)
Bài 1:
a: Xét ΔADC và ΔBCD có
AD=BC
DC chung
AC=BD
Do đó: ΔADC=ΔBCD
=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)
=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)
=>OD=OC
Ta có: OD+OB=BD
OC+OA=AC
mà BD=AC và OD=OC
nên OB=OA
b: Xét ΔEDC có AB//DC
nên \(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\)
mà AD=BC
nên EA=EB
=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB
Ta có: EA+AD=ED
EB+BC=EC
mà EA=EB và AD=BC
nên ED=EC
=>E nằm trên đường trung trực của DC(3)
Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)
Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của CD
A B C D O
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(OA+OB>AB\)
\(OB+OC>BC\)
\(OC+OD>DC\)
\(OD+OA>AD\)
Cộng vế theo vế thì \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CA+AD\)
\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{AB+BC+CA+AD}{2}\) ( 1 )
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(AB+BC>CA;BC+CD>BD;CD+DA>CA;DA+AB>BD\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(CA+BD\right)=2\left(AO+OC+OD+OB\right)\)
\(\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra đpcm.
I A B C D O H