từ các đỉnh A,B hạ các đường cao AE,BF vuông góc với CD

dễ chứng minh tứ giác ABFE là hình chữ  nhật

=>EF=AB=12cm

do ABCD là hình thang cân \(=>AD=BC,\angle\left(D\right)=\angle\left(C\right)\)

mà \(\angle\left(AED\right)=\angle\left(BFC\right)=90^O\)

\(=>\Delta ADE=\Delta BFC\left(ch-cgn\right)=>DE=FC=\dfrac{1}{2}.\left(DC-EF\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(18-12\right)=3cm\)

xét trong tam giác BFC vuông tại F

\(=>\)\(\cos75^o=\dfrac{FC}{BC}=>BC=11,6cm\)

pytago \(=>BF=\sqrt{BC^2-FC^2}=\sqrt{11,6^2-3^2}=11,2cm\)

\(=>S=\dfrac{BF\left(AB+DC\right)}{2}=....\) thay số

Kẻ `AH, CK` vuông góc `CD`.

Xét `\DeltaADH` và `\DeltaBCK` có:

`AH =CK` 

`\hatD=\hatC`

`AD=BC` 

`=> \DeltaADH=\DeltaBCK`

`=> DH=CK=x`

Có: `CD=DH+HK+KC = x+12+x=18 => x=3` (cm)

`tanC=(BK)/(CK) <=> tan75^@ = (BK)/3 => BK =6+3\sqrt3 (cm)`

`=> S=1/2 .(AB+CD) .BK = 90+45\sqrt3 ≈ 168 (cm^2)`

Kẻ đường cao AH ứng với CD

Do ABCD là hình thang cân

\(\Rightarrow DH=\dfrac{CD-AB}{2}=3\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ADH ta có:

\(tanD=\dfrac{AH}{DH}\Rightarrow AH=DH.tanD=3.tan75^0=6+3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AH.\left(AB+CD\right)\approx168\left(cm^2\right)\)

Kẻ AH⊥CD tại H và BK⊥CD tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>AH=BK và DH=KC

Xét tứ giác ABKH có

AB//KH

AH=BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

=>KH=12(cm)

DH+HK+KC=DC

=>DH+KC=18-12=6(cm)

=>DH=KC=6/2=3(cm)

Xét ΔAHD vuông tại H có cos D=\(\frac{DH}{DA}\)

=>\(DA=\frac{DH}{cosD}=3:cos75=3:\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=3\cdot\frac{4}{\sqrt6-\sqrt2}=3\left(\sqrt6+\sqrt2\right)=3\sqrt6+3\sqrt2\) (cm)

=>\(AD=BC=3\sqrt6+3\sqrt2\) (cm)

Xét ΔAHD vuông tại H có sin D=\(\frac{AH}{AD}\)

=>\(AH=AD\cdot\sin75=\left(3\sqrt6+3\sqrt2\right)\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{3\left(8+2\sqrt{12}\right)}{4}=\frac{3\left(8+4\sqrt3\right)}{4}=3\left(2+\sqrt3\right)\) (cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot AH\)

\(=\frac12\cdot3\left(2+\sqrt3\right)\left(12+18\right)=15\cdot3\cdot\left(2+\sqrt3\right)=45\left(2+\sqrt3\right)\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+CD+AD+BC

=12+18+\(2\left(3\sqrt6+3\sqrt2\right)\)

\(=30+6\sqrt6+6\sqrt2\) (cm)

a: ΔBHC vuông tại H

=>\(BH^2+HC^2=BC^2\)

=>\(HC^2=15^2-12^2=225-144=81=9^2\)

=>HC=9(cm)

DC=DH+HC=16+9=25(cm)

ΔBHD vuông tại H

=>\(BH^2+HD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)

=>BD=20(cm)

Xét ΔBDC có \(BC^2+BD^2=CD^2\)

nên ΔBCD vuông tại B

=>BD⊥BC

b: Kẻ AK⊥CD tại K

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔBHC vuông tại H có

AD=BC

\(\hat{ADK}=\hat{BCH}\)

Do đó: ΔAKD=ΔBHC

=>DK=HC=9cm

DK+KH=DH

=>KH=16-9=7(cm)

Xét tứ giác ABHK có

AB//HK

AK//BH

Do đó: ABHK là hình bình hành

=>AB=KH=7cm

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot BH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot\left(7+25\right)\cdot12=6\cdot32=192\left(\operatorname{cm}^2\right)\)