Bài 1:

Gọi K là trung điểm của BC

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔCAB có

O,K lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OK là đường trung bình

=>OK//AB và \(OK=\dfrac{AB}{2}\)

=>\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

Xét ΔOBC có OK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

=>M trùng với B

Bài 2:

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//BC và MP=BC/2

=>MP=CN

mà MP//NC

nên MPCN là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{CN}\)

=>\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

mà \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

nên K trùng với P

Vì M;  N lần lượt là trung điểm của AD;  BC

M A → + M D → = 0 → B N → + C N → = 0 → .

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

A đúng, vì :

M D → + C N → + D C → = M N → = M D → + D C → + C N → = M C → + C N → = M N → .

B đúng, vì  A B → − M D → + B N → = A B → + B N → − M D → = A N → − A M → = M N → .

C đúng, vì  M N → = M A → + A B → + B N → và   M N → = M D → + D C → + C N → .

Suy ra  

  2 M N → = M A → + M D → + A B → + D C → + B N → + C N → = 0 → + A B → + D C → + 0 → = A B → + D C →

⇒ M N → = 1 2 A D → + B C → .

D sai, vì theo phân tích ở đáp án C.

Chọn D.

*Xét  tam giác ABC có M; N  là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác.

⇒ M N / / A C ;     M N = 1 2 A C   ( 1 )

* Xét  tam giác ADC có P; Q  là trung điểm của CD, DA nên PQ là đường trung bình của tam giác.

⇒ P Q / / A C ;     P Q = 1 2 A C   ( 2 )

* Từ (1) (2)  suy  ra  PQ// MN;  PQ = MN.

Khi đó  M N → =   Q P →

Đáp án D

*Xét  tam giác ABC có M; N  là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác.

⇒ M N / / A C ;     M N = 1 2 A C   ( 1 )

* Xét  tam giác ADC có P; Q  là trung điểm của CD, DA nên PQ là đường trung bình của tam giác.

⇒ P Q / / A C ;     P Q = 1 2 A C   ( 2 )

* Từ (1) (2)  suy  ra  PQ// MN;  PQ = MN.

Suy ra, vecto  M N → không cùng phương với vecto  A P →

Đáp án B

\(a,\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}\)

\(b,\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}{2}=\overrightarrow{\dfrac{AB}{2}}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(=\overrightarrow{\dfrac{AB}{2}}+\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}{4}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\overrightarrow{BC}}{4}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\left(1\right)\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BA}=k.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)A,M,N\) \(thẳng\) \(hàng\Leftrightarrow\dfrac{k}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{3}\)

a) N trung điểm AD \(\Rightarrow AN=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}\)

M trung điểm BC \(\Rightarrow MC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AN=MC\)mà AN//MC

nên AMCN là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\)

b) Tương tự câu a ta được \(\hept{\begin{cases}ND=BM=\frac{1}{2}BC\\ND//BM\end{cases}}\)=> NDMB là hình bình hành=> NB//DM (1)

Xét 2 tam giác ANI và NDK: \(\hept{\begin{cases}AN=ND=\frac{AD}{2}\\\widehat{NAI}=\widehat{DNK}\left(AM//NC\right)\\\widehat{ANI}=\widehat{NDK}\left(NB//MD\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ANI=\Delta NDK\left(g.c.g\right)}\)

\(\Rightarrow NI=DK\)(2)

(1), (2) => \(\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{DK}\)

\hept là j???