Tự vẽ hình nha bạn

Ta có

AB//CD

M trung điểm của AD

P là trung điểm của AC

MP là đường trung bình của tam giác ACD

=> MQ // và bằng 1/2 CD
chứng minh tương tự ta đc

MQ là đường trung bình của tam giác ABD

Mà AB//CD

=>MQ//MP

theo tiên đề Ơ clit

3 điểm M,P,Q thẳng hàng(1)

chứng minh tương tự ta đk 3 điểm P,Q,N thẳng hàng(2)

từ (1) và (2)

=> DPCM

b,M là trung điểm của AD

N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=> MN= (a+b)/2

PN là đường trung bình của tam giác ABC

=> PN // và bằng 1/2 AB

QN là đường trung bình của tam giác BCD 

=> QN // và bằng 1/2NP

Mà PN-QN=PQ=1/2AB-1/2CD

=(a-b)/2

c,

Nếu MP=NQ=PQ

=>MQ=NP=2QN

Ta có

PN =1/2AB

QN=1/2CD

=>2QN=CD

Mà QN=1/2PN

=> PN=CD

=> CD=1/2 AB

=> DPCM

Cho hình thang ABCD (đáy lớn AB//CD).Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD,BC,AC,BD

a, Cm 4 điểm M,N,P,Q thẳng hàng

b, Tính MN và PQ biết AB=a, CD=b,

c, Cm nếu MP=PQ=QN thì AB=2CD 

vẽ cả hình cho mình nha 

ai nhanh mình k cho

Giải thích các bước giải:

a/ Trong ΔABCΔABC có N,PN,P lần lượt là trung điểm của BC,ACBC,AC

⇒ NPNP là đường trung bình ΔABCΔABC

⇒ NP//AB//CDNP//AB//CD (1)

Trong ΔBCDΔBCD có N,QN,Q lần lượt là trung điểm của BC,BDBC,BD

⇒ NQNQ là đường trung bình ΔBCDΔBCD

⇒ NQ//CD//ABNQ//CD//AB (1)

Trong hình thang ABCDABCD có M,NM,N lần lượt là trung điểm của AD,BCAD,BC

⇒ MNMN là đường trung bình hình thang ABCDABCD

⇒ MN//AB//CDMN//AB//CD (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra: M,N,P,QM,N,P,Q thằng hàng

Hay M,N,P,QM,N,P,Q nằm trên một đường thẳng

b/ Vì MNMN là đường trung bình thang ABCDABCD

nên MN=AB+CD2=a+b2MN=AB+CD2=a+b2

Ta có: NPNP là đường trung bình ΔABCΔABC

⇒ NP=AB2=a2NP=AB2=a2

Ta lại có: NQNQ là đường trung bình ΔBCDΔBCD

⇒ NQ=CD2=b2NQ=CD2=b2

Vì a>b nên PQ=NP−NQ=a2−b2=a−b2PQ=NP−NQ=a2−b2=a−b2

c/ Ta có: MN=MP+PQ+QNMN=MP+PQ+QN

⇒a+b2=3.a−b2⇒a+b2=3.a−b2

⇒a+b=3a−3b⇒a+b=3a−3b

⇒3a−a=b+3b⇒3a−a=b+3b

⇒2a=4b⇒2a=4b

⇒a=2b⇒a=2b

Chúc bạn học tốt !!!

^HT^

trả lời :

^HT^

a: Xét ΔMDC có AB//DC

nên \(\frac{MA}{MD}=\frac{AB}{DC}=\frac{2\cdot AN}{2\cdot DQ}=\frac{AN}{DQ}\)

Xét ΔMAN và ΔMDQ có

\(\frac{MA}{MD}=\frac{AN}{DQ}\)

\(\hat{MAN}=\hat{MDQ}\) (hai góc đồng vị, AN//DQ)

Do đó; ΔMAN~ΔMDQ

=>\(\hat{MNA}=\hat{MQD}\)

Gọi K là giao điểm của MN và DC

Xét ΔMDK có NA//DK

nên \(\frac{NA}{DK}=\frac{MN}{MK}\left(1\right)\)

Xét ΔMKC có BN//KC

nên \(\frac{BN}{KC}=\frac{MN}{MK}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{NA}{DK}=\frac{BN}{KC}\)

mà NA=NB

nên DK=KC

=>K là trung điểm của DC

=>K trùng với Q

=>AD,BC,QN đồng quy tại M

b: Xét ΔPAB và ΔPCD có

\(\hat{PAB}=\hat{PCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

\(\hat{APB}=\hat{CQD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔPAB~ΔPCD

=>\(\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{CD}=\frac{AN}{QC}\)

Xét ΔPAN và ΔPCQ có

\(\frac{PA}{PC}=\frac{AN}{CQ}\)

\(\hat{PAN}=\hat{PCQ}\) (hai góc so le trong, AN//CQ)

Do đó: ΔPAN~ΔPCQ

=>\(\hat{APN}=\hat{CPQ}\)

mà \(\hat{APN}+\hat{NPC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{NPC}+\hat{QPC}=180^0\)

=>N,P,Q thẳng hàng

=>M,N,P,Q thẳng hàng

  Trước tiên kẻ AM cắt CD tại I 

Ta xét tam giác AMB và IMD 
Hai tam giác đó bằng nhau vì MB=MD (gt) và góc AMB=IMD (đđ) và góc ABM=IDM (so le trong vì AB//CD) 

Vì vậy mà AB=ID và MA=MI 

Xét tam giác AIC có MA=MI và NA=NC nên MN là đường trung bình của tam giác AIC nên MN//CI và MN=(1/2)CI 

Do CI=CD-ID cũng như CI=CD-AB (do AB=ID cmt) và MN=(1/2)CI 
nên MN=(1/2)(CD-AB)