Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét ΔANC vuông tại N có NO là đường cao
nên \(OA\cdot OC=ON^2\) (1)
Xét ΔDMB vuông tại M có MO là đường cao
nên \(MO^2=OB\cdot OD\left(2\right)\)
Xét ΔODC và ΔOBA có
\(\hat{ODC}=\hat{OBA}\) (hai góc so le trong, DC//BA)
\(\hat{DOC}=\hat{BOA}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔODC~ΔOBA
=>\(\frac{OD}{OB}=\frac{OC}{OA}\)
=>\(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)
Đặt \(\frac{OD}{OB}=\frac{OC}{OA}=k\)
=>\(OD=k\cdot OB;OC=k\cdot OA\)
\(\frac{OM^2}{ON^2}=\frac{OD\cdot OB}{OA\cdot OC}=\frac{k\cdot OB\cdot OB}{k\cdot OA\cdot OA}=\frac{OB^2}{OA^2}\)
=>\(\frac{OM}{ON}=\frac{OB}{OA}\)
=>\(OM\cdot OA=ON\cdot OB\)
2: \(OM\cdot OA=ON\cdot OB\)
=>\(\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}\)
Xét ΔOMN và ΔOBA có
\(\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}\)
góc MON chung
Do đó: ΔOMN~ΔOBA
Gọi M là trung điểm BC => BM=CM
Xét tam giác ABC có:
BM=CM
AE=EC (giả thiết vì E la trung điểm của AC)
Nên: EM là đường trung bình trong tam giác ABC
=>EM//AB và EM=AB/2
Tương tự: Xét tam giác BCD có:
FM là đường trung bình trong tam giác BCD
=>FM//CD và FM=CD/2
Lại có:
FM//CD
mà AB//CD (theo giả thiết ABCD la hthang)
Nên: FM//AB
Mà EM//AB
Do đó, theo tiên đề Ơclit ta có: E,M,F thẳng hàng.
Vậy,EF=FM-EM=(CD-AB)/2
b: Xét ΔABD có
M là trung điểm của AB
Q là trung điểm của AD
Do đó: MQ là đường trung bình của ΔBAD
Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔBCD có
N là trung điểm của BC
P là trung điểm của CD
Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD
Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔADC có
Q là trung điểm của AD
P là trung điểm của CD
Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC
Suy ra: QP//AC
mà AC\(\perp\)BD
nên QP\(\perp\)BD
mà MQ//BD
nên MQ\(\perp\)QP
hay \(\widehat{MQP}=90^0\)
Xét tứ giác MQPN có
MQ//NP
MQ=NP
Do đó: MQPN là hình bình hành
mà \(\widehat{MQP}=90^0\)
nên MQPN là hình chữ nhật
Xét tứ giác MQPN có
\(\widehat{MQP}+\widehat{MNP}=180^0\)
Do đó: MQPN là tứ giác nội tiếp
hay M,Q,P,N cùng thuộc 1 đường tròn