Câu 3: ABCD là hình vuông

=>\(BD^2=BA^2+AD^2=\left(2a\right)^2+\left(2a\right)^2=4a^2+4a^2=8a^2\)

=>\(BD=2a\sqrt2\)

ABCD là hình vuông tâm O

=>O là trung điểm của BD

=>\(DO=\frac{BD}{2}=\frac{2a\sqrt2}{2}=a\sqrt2\)

Câu 2:

ΔCAB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=4^2+3^2=16+9=25=5^2\)

=>AB=5

câu 1: ABCD là hình vuông

=>\(AB^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=1^2+1^2=2\)

=>\(AC=\sqrt2\)

Câu 8: A

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(a,b\right)\) là vectơ pháp tuyến của CD (\(a^2+b^2\ne0\)

Ta có phương trình CD : \(ax+by+a+b=0\)

\(S_{BCD}=S_{ACD}=8\Rightarrow d\left(A;CD\right)=\frac{2.S}{CD}=2\Rightarrow d\left(M.CD\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1\Leftrightarrow3a^2-4ab=0\)\(\rightarrow\begin{cases}a=0;b=1\\a=4;b=3\end{cases}\)\(\rightarrow\begin{cases}CD:y+1=0\\CD:4x+3y+7=0\end{cases}\)

Với \(CD:y+1=0\rightarrow D\left(d;-1\right);CD^2=4.AB^2=64\Leftrightarrow\begin{cases}d=7\\d=-9:L\end{cases}\)

\(D\left(7;-1\right);\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\left(-4;0\right)\rightarrow B\left(-9;-3\right)\)

Với \(CD:4x+3y+7=0\rightarrow D\left(d;\frac{-4d-7}{3}\right)\rightarrow CD^2=\frac{25\left(d+1\right)^2}{9}=64\) (loại)

Vì M;  N lần lượt là trung điểm của AD;  BC

M A → + M D → = 0 → B N → + C N → = 0 → .

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

A đúng, vì :

M D → + C N → + D C → = M N → = M D → + D C → + C N → = M C → + C N → = M N → .

B đúng, vì  A B → − M D → + B N → = A B → + B N → − M D → = A N → − A M → = M N → .

C đúng, vì  M N → = M A → + A B → + B N → và   M N → = M D → + D C → + C N → .

Suy ra  

  2 M N → = M A → + M D → + A B → + D C → + B N → + C N → = 0 → + A B → + D C → + 0 → = A B → + D C →

⇒ M N → = 1 2 A D → + B C → .

D sai, vì theo phân tích ở đáp án C.

Chọn D.