Lời giải:

Áp dụng định lý Talet cho các cặp cạnh song song ta có:

$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{OE+EC}{OA}=\frac{OE}{OA}+\frac{EC}{OA}=\frac{OB}{OD}+1=\frac{AB}{CD}+1$

Đặt $\frac{AB}{CD}=x(x>0)$ thì:

$\frac{1}{x}=x+1\Leftrightarrow x^2+x-1=0$

Do $x>0$ nên $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy.........

Hình vẽ:

A B C D E F O

a, xét tam giác ODC có : AB // DC

=> OA/OC = OB/OD = AB/DC (đl)

có : AB = 4; DC = 9 (gt)

=> OA/OC = OB/OD = 4/9 

B, xét tam giác ABD có : EO // AB (gt)  => EO/AB = DO/DB (hệ quả)        (1)

xét tam giác ABC có FO // AB (gt) => OF/AB = CO/CA (hệ quả)                (2)

xét tam giác ODC có AB // DC (gt) => DO/DB = CO/CA   (hệ quả)             (3)

(1)(2)(3) => OE/AB = OF/AB 

=> OE = OF 

xét tam giác ABD có : EO // AB(Gt) => EO/AB = DE/AD  (hệ quả)             (4)

xét tam giác ADC có EO // DC (gt) => OE/DC = EA/AD   (hệ quả)             (5)

(4)(5) => EO/AB + EO/DC = DE/AD + AE/AD 

=> EO(1/AB + 1/DC) = 1                                                                              (*)

xét tam giác ACB có FO // AB (gt) => OF/AB = FC/BC (hệ quả)                 (6)

xét tam giác BDC có OF // DC (gt) => OF/DC = BF/BC (hệ quả)                 (7)

(6)(7) => OF/AB + OF/DC = FC/BC + BF/BC

=> OF(1/AB + 1/DC) = 1                                                                               (**)

(*)(**) => OF(1/AB + 1/DC) + OE(1/AB + 1/DC) = 1 + 1

=> (OE + OF)(1/AB + 1/DC) = 2

=> EF(1/AB + 1/DC) = 2

=> 1/AB + 1/DC = 2/EF

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB\(\sim\)ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\)(2)

b: Xét ΔCAD có OE//AD

nên \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\)(1)

Xét ΔBDC có OF//BC

nên \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{CF}{CD}\)

=>DE=CF

Bài 6 :

Tự vẽ hình nhá :)

a) Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tam giác ADC có :

EO // DC => AE/AD = AO/AC (1)

Xét tam giác ABC có :

OF // DC

=> CF/CB = CO/CA (2)

Từ (1) và (2) => AE/AD + CF/CB = AO/AC + CO/CA = AO + CO/AC = AC/AC = 1 => đpcm

Bài 7 :

A B C D G K M F E

a) Do EF // AB => CF / CA = EF / AB => CF / EF = AC / AB (1)

Dựng MG // AC và M là trung điểm của cạnh BC => GM là đường trung bình của tam giác ABC => G là trung điểm của cạnh AB =>AG = BG

Do DK // GM => AD / AG = DK / GM => AD / BG = DK / GM 

=> DK / AD = GM / BG = \(\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{AC}{AB} \left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => CF / EF = DK / AD

Mà tứ giác ADEF là hình bình hành ( vì EF // AD và DE // AF ) nên AD = È

=> CF = DK ( đpcm )

Bài 8 : 

A B C M N 38 11 8

Ta có : AB = AM + MB = 11 + 8 = 19 ( cm )

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào tam giác ABC, ta có :

AM / AB = AN / AC => AM + AB / AB = AN + AC / AC => 19 + 11 / 19 = AN + 38 / 38 => 30/19 = 38 + AN / 38

=> 1140 = 19.AN + 722

=> AN = ( 1140 - 722 ) / 19 = 22 ( cm )

=> NC = 38 - 12 = 26 ( cm )

chắc sang năm mới làm xong mất 

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\hat{OAB}=\hat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

\(\hat{AOB}=\hat{COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\) (1)

Xét ΔOAE và ΔOCB có

\(\hat{OAE}=\hat{OCB}\) (hai góc so le trong, AE//BC)

\(\hat{AOE}=\hat{COB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAE~ΔOCB

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OB}\) (2)

Xét ΔOBF và ΔODA có

\(\hat{OBF}=\hat{ODA}\) (hai góc so le trong, BF//DA)

\(\hat{BOF}=\hat{DOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOBF~ΔODA

=>\(\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OA}\)

Xét ΔOEF và ΔOBA có

\(\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OA}\)

\(\hat{EOF}=\hat{BOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOEF~ΔOBA

=>\(\hat{OEF}=\hat{OBA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên EF//AB